江苏理工学院

高等数学(下)重修练习题

1．设a是从点A(2,1,2)到点B(1,2,1)的向量,则与a同方向的单位向量为a︒=_______.2．设向量a={2,1,2},b={1,2,1},则|a+b|=________.3．设向量a={2,1,2},b={1,2,1},则|a-b|=________.4．设向量a={2,1,2},b={1,2,1},则a⨯b=________.

5．设向量a={2,1,2},b={1,2,1},则与a和b都垂直的向量c=_______6．设向量a={2,1,2},b={1,2,1},则cos(a,^b)=________.

7．设向量a={2,1,2},则与a的方向相同而模为2的向量b=________.

8．1.以向量a=(1,1,2)与b=(2,-1,1)为邻边的平行四边形的面积为________.

⎧x2+y2=z

9．以曲线⎨为准线,母线平行于z轴的柱面方程是________.

z=2x⎩

⎧x2+y2=z

10．2.以曲线⎨为准线,母线平行于z轴的柱面方程是________.

⎩x+y-z=0

⎧x2+z2-2z=0

11．2.曲线⎨绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.

y=0⎩

⎧y2+z2-2z=0

12．2.曲线⎨绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.

⎩x=0

13．2.旋转抛物面x2+y2=z与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程为________.

14．2.

锥面z=x=z2的交线在xoy面上的投影方程为_________.

⎧x=-t+2⎪

15．2.过点M(1,2,-1)且与直线⎨y=3t-4垂直的平面方程是________.

⎪⎩z=t-1

x-2y+4z+1

16．2.过点M(1,2,-1)且与直线垂直的平面方程是________.==

-131

17．2.过点M(1,2,1)且与平面2x+3y-z+2=0垂直的直线方程是_________.18．2.过点M(1,-1,2)且与平面x-2y+1=0垂直的直线方程是________.

19．函数f(x,y)在点P0处的偏导数存在是函数f(x,y)在P0处连续的().(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)既非充分又非必要条件.20．函数f(x,y)在点P0处连续是函数f(x,y)在P0处的偏导数存在的().(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)既非充分又非必要条件.21．函数f(x,y)在点P0处连续是函数f(x,y)在P0处可微分的().

(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)既非充分又非必要条件.22．若f(x,y)在点P0的某个邻域内(),则f(x,y)在P0处可微.

(A)连续;(B)有界;(C)存在两个偏导数;(D)存在连续的一阶偏导数.

∂z

23．3.设z=f(x2+y2,x2-y2,2xy),且f(u,v,w)可微分,则=________.

∂x

24．3.设w=f(u,v),u=xy,v=x2+y2,且f(u,v)可微分,则∂w=________.

∂x

22

25．3.设z=ln(1+x+y),则dz|(1,1)=________.

26．设f(x,y,z)=x2+y2+z2,则梯度gradf(1,-1,2)=________.27．设f(x,y,z)=x3y2z,则梯度gradf(1,1,1)=________.

28．函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在点(1,-1,2)处沿方向________的方向导数最大.

29．函数f(x,y,z)=x3y2z在点(1,1,1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大.30．函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在点(1,-1,2)处方向导数的最大值为________.31．函数f(x,y,z)=x3y2z在点(1,1,1)处方向导数的最大值为________.32．交换二次积分的积分次序,则⎰dy⎰f(x,y)dx=________.33．交换二次积分的积分次序,则⎰dx⎰f(x,y)dy=________.

x

1y

0101

34．交换二次积分的积分次序,

则⎰dy010

1yx

(x,y)dx=________.

35．交换二次积分的积分次序,则⎰dx⎰2f(x,y)dy=________.

x

36．设D为上半圆域x2+y2≤4(y≥0),则二重积分⎰⎰dσ=________.

D

37．设D是由两个坐标轴与直线x+y=1所围成的区域,则二重积分⎰⎰dσ=______.

D

38．设D是由直线x=1、y=x及x轴所围成的区域,则二重积分⎰⎰dσ=________.

D

39．设D是由椭圆

yx

+=1所围成的区域,则二重积分⎰⎰dσ=________.916D

2

2

40．设L

为上半圆y

则曲线积分⎰L

s=________.

41．设L为圆x2+y2=1,

则曲线积分⎰L

s=________.

L

42．设L

为上半圆y则曲线积分⎰ln(1+x2+y2)ds=________.43．设L为圆x2+y2=1,则曲线积分⎰ln(1+x2+y2)ds=________.

L

44．设L是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形区域的正向边界,则

⎰2xydx+x2dy=________.

L

45．设L是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形区域的正向边界,则⎰(excosy-x)dx-exsinydy=________.

L

46．设L是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形区域的正向边界,则⎰2xydx+(x2+2x)dy=________.

L

47．设L

是由上半圆yx轴所围成的区域的正向边界,则

2

2xydx+(x+2x)dy=________.⎰L

48．若p满足________,

则级数n=∞

发散.

收敛.

49．若p满足________,

则级数n=∞

50．若q满足________,则级数∑a()n收敛.

n=0

∞

q2

51．若p满足________,则级数∑(

n=0∞

∞

1

+pn)收敛.n2

11

+)收敛.n2np

∞

52．若p满足________,则级数∑(

n=0

53．设∑un是任意项级数,则limun=0是级数∑un收敛的()条件.

n=1

n→∞

∞

n=1江苏理工学院

(A)充分;(B)必要;(C)充分必要;(D)无关.

54．设∑un是任意项级数,则级数∑un收敛是级数∑kun(k≠0)收敛的()条件.

n=1

n=1

n=1

∞

∞

∞

(A)充分;(B)必要;(C)充分必要;(D)无关.55．下列级数中收敛是(A).

∞∞∞

1111(A)∑(-1);(B)∑;(C)∑(n+);

(D).

n+1nn2n=1n=1n=1n=n

∞

56．下列级数中绝对收敛的是(C).

(A)∑(-1)

n=1∞∞

n

∞∞∞1n1n1;(B)∑(-1);(C)∑(-1)n;(D)∑(-1)n(1+)n.

nn2n=1n=1n=1

57．下列级数中绝对收敛的是(D).

(A)∑(-1)

n=1

n

∞∞∞

11nn1n

;(B)∑(-1);(C)∑(-1)(1+);(D)(-1)n2.

nnnn=1n=1n=1

∑

58．设幂级数∑anx的收敛半径为R,则当x=R时,幂级数∑anxn().

n

n=0

n=0

∞

∞

(A)条件收敛;(B)发散;(C)绝对收敛;(D)可能收敛,也可能发散.59．设幂级数∑anx的收敛半径为R,则当x=-R时,幂级数∑anxn().

n

n=0

n=0

∞

∞

(A)条件收敛;(B)发散;(C)绝对收敛;(D)可能收敛,也可能发散.60．如果幂级数∑anxn在x=2处收敛,则收敛半径为R满足().

n=0∞∞

(A)R=2;(B)R>2;(C)R≥2;(D)R<2.

61．如果幂级数∑anxn在x=-2处收敛,则收敛半径为R满足(C).

n=0

(A)R=2;(B)R>2;(C)R≥2;(D)R<2.

1

62．将函数f(x)=展开为x的幂级数,则f(x)=_______.

1+x21

63．将函数f(x)=展开为x的幂级数,则f(x)=________.

1-x21

64．将函数f(x)=在区间________可展开为x的幂级数.

4-x1

65．将函数f(x)=在区间________可展开为x的幂级数.

1+2x

xyz

66．求通过直线==和点(2,-1,1)的平面方程.

113

67．求过三点A(1,0,-1)、B(0,-2,2)及C(1,-1,0)的平面的方程.

⎧2x-3y+z-5=0

68．求通过点(1,2,-1)且与直线⎨垂直的平面方程.

3x+y-2z-4=0⎩

⎧2x-3y+z-5=0

69．求通过点(1,2,-1)且与直线⎨平行的直线方程.

3x+y-2z-4=0⎩

70．求通过点(1,2,-1)且与平面2x-3y+z-5=0和3x+y-2z-4=0都平行的直线方程.

∂z∂2z∂2zxy

71．设z=xsin(x+y)+e,求,,.

∂y∂x∂y2

∂2z∂z∂z2x+y

72．设z=ln(1+xy)+e,求,2,.

∂x∂y∂x∂x2

∂2z∂z∂z2y

73．设z=(2x+3y)+x,求,2,.

∂x∂y∂x∂x

2

∂2z∂z∂zy

74．设z=x,求,,.

∂x∂y∂x∂x

∂2z∂z∂2zy

75．设z=x,求,,.

2

∂2z∂z∂z76．设z=xsin(2x+3y),求,,.∂x∂y∂x∂x

∂z∂z.

77．设z=f(x,y)由方程xex-yey=zez确定的函数,求,

∂x∂y∂z∂z

78．设z=f(x,y)由方程x+y-z=xex-y-z确定的函数,求,.

∂y∂x

x∂z∂z

79．已知z=u2lnv,而u=,v=3x-2y,求,.

y∂x∂y

∂z∂z

80．设z=u⋅sinv,而u=ex+y,v=x2y,求,.

∂x∂y∂z∂z

81．设z=eusinv,而u=x-y,v=x2y,求,.

∂x∂y

82．求曲面z=ln(1+x+y)上点(1,0,ln2)处的切平面方程.83．求曲面z=1+2x2+y2上点(1,1,4)处的切平面方程.84．求曲面ez-z+xy=3上点(2,1,0)处的切平面方程.

⎧y=2x2

85．求空间曲线⎨在点M0(0,0,1)处的切线方程.

z=3x+1⎩

86．求空间曲线x=acost,y=asint,z=bt在对应于t=0处的切线方程.

87．计算二重积分⎰⎰(x2+y2-x)dσ,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x轴所围成的闭区域.

D

88．计算二重积分⎰⎰xy2dσ,其中D是由直线y=x,y=0,x=1所围成的区域.

D

89．计算二重积分⎰⎰xsinydσ,其中D是由直线y=x,y=0,x=π所围成的区域.

D

90．计算二重积分⎰⎰(xy+ey)dσ,其中D是由直线y=x,y=1,x=-1所围成的区域.

D

91

．计算二重积分⎰⎰(x3+σ,其中D是由曲线y=x2,直线y=1,x=0所围成的区域.

D

92．计算二重积分⎰⎰ex

D

2+y2

dσ,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

区域.

93．计算二重积分⎰⎰

D

11+x+y

dσ,其中D是由圆周x2+y2=4及坐标轴所围成的在第一象限内

的闭区域.

94．计算三重积分⎰⎰⎰zdv,其中Ω

是由曲面zz=0所围成的闭区域.

Ω江苏理工学院

95．计算三重积分⎰⎰⎰zdv,其中Ω是由曲面z=1-x2-y2及平面z=0所围成的闭区域.

Ω

96．计算三重积分⎰⎰⎰zdv,其中Ω是由柱面x2+y2=1及平面z=0,z=1所围成的闭区域.

Ω

222

(x+1)ds97．计算曲线积分,其中l为圆周x+y=1.⎰

l

98

．计算曲线积分⎰s，其中l为抛物线y=x2(-1≤x≤1).

99．计算曲线积分I=⎰(x2+y2)dx+(x+2)dy,其中C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三

C

角形的正向边界.

2222

(x+y)dx+(x+y)dy100．计算曲线积分I=,其中L是从O(0,0)到A(1,1)的抛物线y=x,⎰

L

及从A(1,1)到O(0,0)的直线.

101．计算曲线积分I=⎰(x4+4xy3)dx+(6x2y2-5y4)dy,其中L是从(-2,0)到(2,0)的半圆

L

x2+y2=4(y≥0).

102．计算曲线积分I=⎰xy2dx+x2ydy,其中L是曲线y=lnx上从A(1,0)到B(e,1)的一段.

L

∑

104．计算曲面积分⎰⎰(x2+y2)dS,其中∑为平面x+y+z=1含于柱面x2+

y2=1内的部分.

∑

105．计算曲面积分⎰⎰z2dxdy,其中∑为上半球面z含于柱面x2+y2=1内的部分

∑

的上侧.

22222

yzdxdy+xdydz+xydzdx106．计算曲面积分,其中∑是由圆柱面x+y=R和平面x=0,⎰⎰

∑

y=0,z=0及z=h(h>0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.

107．计算曲面积分⎰⎰(2x-z)dydx+x2ydzdx-xz2dxdy，其中∑是正方体0≤x≤a,0≤y≤a,

∑

0≤z≤a的表面的外侧.