广东,高考

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【第一篇】广东,高考[精美版]2015年广东高考理科数学(逐题详解)

2015年广东高考理科数学逐题详解

详解提供: 广东佛山市南海中学钱耀周

1 é

参考公式:样本数据 x , x , x ,…, x 的方差s=x-x1 2 3 n 

ë1nê

2 

()+(x

2

2

-x

)+(x-x)+L+(x

2

2

3 

n 

-x ù,

úû

) 

2 

其中x表示样本均值.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M=x(x+4)(x+1)=0 ,N=x(x-4)(x-1)=0 ,则MIN=() 

A．{1,4}  

B．{-1,- 4} 

C．{0}  

D．Æ

{} 

{} 

A．2- 3i

B．2+ 3i

C．3+ 2i

D．3-2i

A． y=B． y=x +1 

x

C． y=2 +x 

1 x 2 

D． y=x+e 

x 

1 1 都是偶函数, y=x 是奇函数,选D.x 2 x

4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球

中恰有1个白球,1个红球的概率为() 

5 1011A．B．C．D．1 

21 21 21 

x 

C10C 105 

C15 27 

2 

5．平行于直线2x+y+1=0 且与圆 x2+y=5 相切的直线的方程是() 

A．2x-y+=0 或2x-y= 0 B．2x+y+=0 或2x+y= 0 

线 y=-

3 z 423 æ4 ö

x过 Aç÷时,z 取得最小值 z´=,选 C.min =3´1+2 22 55 è5 ø

x2y 2 5 

7．已知双曲线C :2-2 =1 的离心率 e=,且其右焦点为F 5,0 ) ,则双曲线C 的方程为() 2 (ab4 x2y2 x2y2 x2y2 

B．-= 1 C．-= 1 D．-=1 

169 916 34 c 5 2 2 

a4 

8．若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值() 

A．大于5 B．等于5 C．至多等于4 D．至多等于3 【解析】C ；由正四面体知道至少有4个点!下证明不可能有5个点:假设空间中里可以有5个点两两距离都

相等,不妨设距离都等于a,则五个点 A,B,C,D, E中的三个点 A,B, C 距离彼此相等,那么它们就构成

一个正三角形,点 D, E 要与前三个点距离相等,它就必定在过正 DABC中心且垂直于平面 ABC 的直线上,因此DABC 与EABC 各自为正四面体,但D与E 不重合,他们必定分别在平面 ABC 的两侧,但此时DE 的距离不可能等于DA的距离,矛盾!故正整数n的取值至多等于4,选 C.

x2y2 A．-= 1 

43 

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30

分）(一)必做题(9～13题)

9．在

1 的展开式中,xk

4

) 

4 

k

k 

k 4 

【

解析】6 ；通项Tk +1=C

2 

=6 .(-1) 2 C4 

4 -k 

  C(-1)=(-1)

x4 -k 

2 

,令 

4 -k

=1 ,解得 k=2 ,此时 x 的系数为2 

10．在等差数列{a 中,若 a3+a4+a5+a6+a,则 a2+a8 =_____.n } 7 =25 【解析】10；依题意 5a5 =25 ,所以 a5 =5 , a2+a8=2a5 =10 .

11.设 DABC的内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,

 c,若 a sin B=, C=【解析】1；因为 C=则 CH=1 

2 

p

6 

,则b=_____.

p

6 

,所以 0 

5 p1 p

,又 sin B=,所以 B=,画出 DABC,作 AH^

BC于H ,6 2 6 

=bcos C,所以 b=1 .12.某高三毕业班有40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了____条毕业留

言.(用数字作答)【解析】1560；这是一道排列问题: A40 =40´39=1560 .

13.已知随机变量X 服从二项分布B(n, p ) ,若E(X) =30 ,D(X) =20 ,则 p=_____.【解析】；依题意 np=30 ,np(1-p) =20 ,所以 1 -p=,故 p=.

2 

1 

3 2 3 1 3 

(二)选做题(14～15题,考生只需从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为 2rsinçq-

æè

pö

÷,点 A 的极坐标为 4ø

7 pöæ

Aç÷,则点A到直线l的距离为________.

4 øè

2 15.(几何证明选讲选做题)如图1,已知 AB 是

圆O的直径, 

AB=4 ,EC 是圆O的切线,切点为C , BC=1 .过圆心O作BC 的平

行线,分别交EC 和 AC 于点D和点P ,则 OD=_____.

B=ÐAOP, Ð

所以 DDCP:DAOP,所以代入(*)可得 PD=

PDCP 1 

=(*),又 CP= OP=, PA=CPPAOP2 15 

,所以 OD=

PD+PO=8 .[原卷上的图形画得不准确!这很不应该!]2 

三、解答题:本大题共6小题,满分

80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12分)

æpö

在平面直角坐标系xOy中,已知向量 m =,n = (sinx,cos x, xÎç÷.) è2 øèø 

p

(1)若m^ n,求tan

x的值；(2)若m 与n

的夹角为,求x的值.

3

cos x

pp1 1 

= 

xx,

3322 

pö1 pæppöææpö

方法一:即 sin çx-÷=,又 xÎç÷,所以 x-Îç÷,

4ø2 4è44 øèè2 ø

pp

pp5 p

所以 x-=,所以

 x=+=.

(2)因为m== 1,m 与n的夹角为,所以 m×n=m46 6412 

方法二xx=1 ,两边平方整理得 sin2 x=,又

 xÎç÷,所以2xÎ(0, p) ,所以2 x=

1 

2 

æpöè2 

ø

p

6 5 p

所以 x=.

12 

或

5 pp5 pp,即 x=或

xx=1>0 ,即sinx>cos x,故 x>,612 124 

方法三xx=1 ,结合 sin2x+cos2 x=1 ,可解得 cos x所以 cos2x=2cosx-1 =2 

,5 p5 pæpö

 xÎç÷,所以2xÎ(0, p) ,所以 2 x=,即 x=.6 12 è2 ø

17.(本小题满分 12分)

某工厂36名工人的年龄数据如下表.

为44,列出样本的年龄数据；

(2)计算(1)中样本的均值x和方差 s 2 ；

(3) 36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01% )？【解析】(1)抽样分段间隔 k=

36 

=4 ,依题意,抽到的编号分别为2,6,10,14,18,22,26,30,34,9 

从而样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37 ,44,43,37 .

1 

(2)样本的均值x=(44+40+36+43+36+37+44+43+37) =40 ,

9 

1 1002 

方差s2=(42+02+42+32+42+32+42+32+ 3 .) 9 9

10 10110 10130 

(3)由(2)可知 s=, x-s=40 -=, x+s=40 +=,

3 33 33 

年龄在x-s与x+s之间有:40,40,41,40,42,43,38,39,43,39,38,43,41,37 ,42,37 , 

23 

42,39,43,38,42,37 ,39,共23人,所占的百分比为»63.89% .

36

18.(本小题满分 14分)

如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直, PD=PC=4 , AB=6 , BC=3 .点E 是CD边的中点,点F ,G 

分别在线段AB ,BC 上,且

 AF=2 FB, CG=2GB .

(1)证明:PE^FG；

(2)求二面角P-AD-C的正切值；(3)求直线PA与直线FG 所成角的余弦值.

又平面PDC^平面ABCD,平面PDCI ABCD =CD, 

A 

E 

C G 

F 

图2

B 

PEÌ平面PDC ,所以PE^平面 ABCD,又FGÌ平面 ABCD,所以PE^FG.

(2)因为平面PDC^平面 ABCD,平面PDCI ABCD =CD, AD^CD, ADÌ平面ABCD,

所以AD^平面PDC ,所以 AD^CD, AD^PD,所以 ÐPDC为二面角P-AD-C的平面角,在 DPCD中, PD=PC=4 , DE=CE=3 , PE=

PE ,即二面角P-AD-C

.DEBF1 BG 

(3)连结 AC ,因为==,所以 FG// AC ,

BA3 BC

所以 ÐPAC为直线PA与直线FG 所成的角(或其补角).

所以 tan ÐPDC =

连结AE ,在Rt

D PAE中, AE=

, 

PE, PA=在 DPAC中, PA=5 , 

PC=4 ,

 AC=

2

2

=5 ,

2 

=,

2 

由余弦定理得

cos ÐPAC =

PA+AC-PC 

=

2PA×AC

5+2

-4 2 

所以直线

PA与直线FG 19.(本小题满分 14分)

设 a>1 ,函数f(x)=1+x(1)求f(x ) 的单调区间；

.(

2 

) e -a.

x 

(2)证明:f(x ) 在(-¥,+¥) 上仅有一个零点；

(3)若曲线y=f(x) 在点P 处的切线与x轴平行,且在点M(m, n ) 处的切线与直线OP 

平行(O是坐标原点).证明: m£

-1 .x

(

2

)e

x

=ex(x2 +2x+1)=ex (x+1)  ,

2 

因为f¢(x) ³0 恒成立,所以f(x ) 在R 上递增,即f(x ) 的递增区间为(-¥,+¥) ,无递减区间.(2)因为f(0) =1-a<0 ,f(a)=1+a

(

2

) e

a 

>1+a2 >0 ,即f(0)f(a) <0 ,

所以f(x ) 在(0,a ) 上存在零点,由(1)知f(x ) 在(-¥,+¥) 上递增,所以f(x ) 在(-¥,+¥) 上仅有一个零点.(3)由(1)可知f¢(x)=e

x 

2 æ  ,令f¢(x) =0 得 x=-1 ,故 Pç-(x+1)

è

2 ö

-a÷,e ø

2 ,e 

曲线f(x ) 在点M(m, n ) 处的切线的斜率k=e依题意可知e

m 

m广东,高考

2 

  ,又直线OP 的斜率 kOP =a(m+1)

(m+1 ) 

2 

2 ö2 3 

=a,所以(m+1)=e-m (m+1 a) æç÷(*),

e e èø

m +1 m+1 m 

¢,则gm==,() mm m 

e ee 

令g(m)=e-m (m+1 ) =

当 m<0 时,g¢(m) >0 ,g(m ) 在(-¥,0) 上递增,当 m>0 时,g¢(m) <0 ,g(m ) 在(0,+¥) 上递减,

-m 

所以g(m)=g0=1 ,故gm=e) £ça÷

,()(m+1) £1 ,所以由(*)可得(m+1 () min 即 m+1 £

,即 m£-1 ,不等式得证!

3 

æ

è2 öe ø