§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题

详细内容

§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
解方程组求向量的的坐标.
【教学难点】：
解方程组求向量的的坐标..
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．单位向量，平面的法向量
（1）单位向量－－模为1的向量。
（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。
2．坐标法。为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.

分析：（1）建立空间坐标系；
（2）用坐标表示向量
（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系

列方程组求x,y,z.

（4）证明向量n//
（解略）
思考：有更简单的方法吗？
向量 与 、 的数量积为零即可。
例2，ABCD是一个直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD与平面SBA所成二面角的余弦。

分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。所以本题关键是求平面的法向量。
解：以 A为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别为A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。

设平面


分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。

探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？
??求每个力向上的分力。让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1在建立坐标系后，比较简单，容易把握。分析中的方法是为配合本次课的课题而设计的。

由学生回答本例的简便解法。

例2是一个典型的通过解方程组求法向量的问题，这类问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。

取y＝2，因为只要向量的方向。

例3是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量的加法。

帮助学生理解如何建立坐标系。
单位向量的模为1。

开拓学生思维。
三、训练与提高1，课本P113第11题。
答案：3/8.学生进行提高训练应用.

四、小结1．根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。
2．个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。反思归纳
五、作业课本P112 ，第 6 题 和P113第10题。

练习与测试：
（基础题）
1，已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若 ＝ ，则x＋y＋z＝　　　　　　 ．
答：0

2，把边长为 的正三角形 沿高线 折成 的二面角，点 到 的距离是（　 ）
A． B． C． D．
答：D

3，若a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果a与b为共线向量，则
A.x=1,y=1　　　　 B.x= ,y=－ C.x= ,y=－ 　　　　　　　D.x=－ ,y=
解析：因为a=(2x,1,3)与b=(1,－2y,9)共线，故有 = = ,∴x= ,y=－ ,应选C.
答案：C

4，若空间三点A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则p=__________,q=__________.
解析：∵A、B、C三点共线，则 =λ ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，
∴ ∴λ= ，代入得p=3,q=2.
答案：3 2

（中等题）
5，棱长为a的正方体OABC―O1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x（0≤x≤a）. 如图，以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
⑴ 求证：A1F⊥C1E；
⑵ 当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B1―EF―B的正切值.
证明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）
所以 ，由此得 =0，
A1F⊥C1E
（2）当△BEF的面积取得最大值时，E、F应分别为相应边的中点，可求得二面角B1―EF―B的正切值 .

6，如图，在棱长为1的正方体ABCD―A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.
试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
解：以A为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.

设DF=x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1 (0,1,1), E(1, ,0),F(x,1,0).　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴ =(1，－ ，－1)， =(1，0，1)， =(x,1,0).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴ • =1－1=0，即D1E⊥AB1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF • =0 x－ =0，即x= .
故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.