§3.1.5空间向量运算的坐标表示

详细内容

§3.1.5空间向量运算的坐标表示
【学情分析】：
平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量
（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：
空间向量的坐标运算
【教学难点】：
空间向量的坐标运算
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新平面向量的坐标运算
二．新课讲授1．空间向量的直角坐标运算律
（1）若 ， ，则 ，
，
，
（2）若 ， ，则 ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运
2．数量积：即 =
3．夹角： ．
4．模长公式：若 ，
则 ．
5．平行与垂直：


6．距离公式：若 ， ，
则 ，
或 ．
算规律和结论的本质是一样的。
三．典例例1．如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的一个四等分点，求 与 所成的角的余弦值。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
所以 ，
， ，
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。
讲练所以 ，
因此， 与 所成角的余弦值是
例2．如图，正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，求证：
证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ，
则 ， 所以 ，又 ， ，所以 ，
所以 ，
因此 ，即

四．练习巩固课本P97 练习 1，2，3
五．拓展与提高1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。

学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问
2．已知三角形的顶点A（1，－ 1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（ ）
A. B. C.2 D.
题。
六．小结1．空间向量的直角坐标运算律
2．数量积与夹角
3．模长与距离
4．平行于垂直
七．作业课本P98习题3.1，A组 第8、9、11题

练习与测试：
（基础题）
1．已知向量 的夹角为（ ）
A．0° B．45°C．90° D．180°
2．已知 （ ）
A． B．5，2 C． D．-5，-2

（中等题）
3.已知 ， ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度；
（2）到 两点的距离相等的点 的坐标 满足的条件
解：（1）设 是线段 的中点，则 ．
∴ 的中点坐标是 ，

．
（2）∵ 点 到 两点的距离相等，
则 ,
化简得： ,
所以，到 两点的距离相等的点 的坐标 满足的条件是 ．
点评：到 两点的距离相等的点 构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点 的坐标 满足的条件 的系数构成一个向量 ，发现与 共线。
4, 已知三角形的顶点是 ， ， ，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式 来求面积
解：∵ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，

∴所以 ．
5．已知 ，则向量 与 的夹角是 （ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
6．已知 ，则 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.