§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）

详细内容

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）
【学情分析】：
高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：
（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法
（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性
【教学重点】：
利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
情景引入过程
从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：

分析运动动员的运动过程：
上升→最高点→下降
运动员瞬时速度变换过程：
减速→0→加速从实际问题中物理量入手
学生容易接受
实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：
先增后减
由正数减小到0，再由0减小到负数
将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍
引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系


进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系
我们能否得出以下结论：
在某个区间（a,b）内，如果 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减
答案是肯定的
从导数的概念给出解释 表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在 附近单调递增
表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在 附近单调递减

所以，若 ，则 ，f(x)为增函数
同理可说明 时，f(x)为减函数
用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆
导数正负与函数单调性总结若y=f(x)在区间（a,b）上可导，则
（1）在（a,b）内， y=f(x)在（a,b）单调递增
（2）在（a,b）内， y=f(x)在（a,b）单调递减
抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目）
例题精讲1、根据导数正负判断函数单调性
教材例1在教学环节中的处理方式：
以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。
小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状
提醒学生观察 的点的图像特点（为下节埋下伏笔）
丢出思考题：“ ”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替）例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路”
2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间
教材例2在教学环节中的处理方式：
可以先以 为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。
引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册”
判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负
→Y，得出函数单调性；
→N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间

补充例题：
已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+ )′=1－1•x－2=
令 ＞0. 解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)

要求根据函数单调性画此函数的草图
3、实际问题中利用导数意义判断函数图像
教材例3的处理方式：
可以根据课程进度作为课堂练习处理
同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像）
堂上练习教材练习2――由函数图像写函数导数的正负性
教材练习1――判断函数单调性，计算单调区间针对教材的三个例题作知识强化练习
内容总结体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性体会学习导数的重要性

课后练习：
1、函数 的递增区间是（ ）
A B C D
答案C 对于任何实数都恒成立

2、已知函数 在 上是单调函数,则实数 的
取值范围是（ ）
A B
C D
答案B 在 恒成立，

3、函数 单调递增区间是（ ）
A B C D
答案C 令

4、对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）
A B
C D
答案C 当 时， ，函数 在 上是增函数；当 时， ， 在 上是减函数，故 当 时取得最小值，即有
得

5、函数 的单调增区间为 ，单调减区间为___________________
答案

6、函数 的单调递增区间是___________________________
答案

7、已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是
（1）求 的解析式；（2）求 的单调递增区间
解：（1） 的图象经过点 ，则 ，

切点为 ，则 的图象经过点
得

（2）
单调递增区间为