变化率与导数导学案及练习题
详细内容
3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数
【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.
1. 函数的变化率
定义实例
平均变化率函 数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 ，简记作：ΔyΔx
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即
＝limΔx→0ΔyΔx
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的 称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作 ，即f′( x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝ .
引言 那么在数学中怎样来刻画变量变 化得快与慢呢？
探究点一 平均变化率的概念
问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得 越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.
问题3 什 么是平均变化率， 平均变化率有何作用？
问题4 平 均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(2)求当x1＝4， 且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
跟踪1 (1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为
①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间 [1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
探究点二 函数在某点处的导数
问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？
例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.
跟踪2 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式 为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝6598 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.
【达标检测】
1.在导数的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A.Δx<0 B.Δx>0 C.Δx＝0 D.Δx≠0
2.函数f(x)在x0处可导，则limh→0 fx0＋h－fx0h ( )
A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关 D.与x0、h均无关
3.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )
A .4 B.4x C.4 ＋2Δx D.4＋2(Δx)2