从平面向量到空间向量导学案

详细内容

§1 从平面向量到空间向量

学习目标
1. 了解向量由平面到空间的推导过程
2. 理解空间向量的概念
3. 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求直线的方向向量和平面的法向量
学习过程
一、课前准备

复习：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量，向量的表示方法有 ， ，
和 共三种方法.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题：1. 什么叫空间向量？

2.空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？

3.空间向量如何表示？

4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示？

探究任务二：向量、直线、平面的相关概念

问题：1.直线的方向向量概念

2.平面的法向量概念

※ 典型例题
例1 见P26思考与交流例子
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间向量基本概念；
2. 直线的方向向量概念
3平面的法向量的概念
4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系

学习评价
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※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若ㄏ ㄏ=ㄏ ㄏ，则 ， 的长度相同，方向相反或相同;
B. 若 与 是相反向量，则ㄏ ㄏ=ㄏ ㄏ;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，一定有 .
2. 已知向量 ， 是两个非零向量， 是与 ， 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. 或
C. D. ㄏ ㄏ=ㄏ ㄏ
3. 在四边形ABCD中，若 ,则四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

§2 空间向量的运算（一）

一、选择题
1. 下列说法中正确的是 （ ）
A. 若ㄏ ㄏ=ㄏ ㄏ，则 ， 的长度相同，方向相反或相同;
B. 若 与 是相反向量，则ㄏ ㄏ=ㄏ ㄏ;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，一定有 .
2. 已知向量 ， 是两个非零向量， 是与 ， 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是 （ ）
A. B. 或
C. D. ㄏ ㄏ=ㄏ ㄏ
3. 下列说法正确的是 （ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
二、填空题
4.长方体 中，化简 = .
5.如果 都是平面 的法向量，则 的关系 .
三、解答题
6.已知平行六面体 , M为A C 与B D 的交点，化简下列表达式：
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ； ⑷ .

创新与实践:
已知平行六面体 （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

错误反思
题号错题分析正确解法

§2 空间向量的运算

一、选择题
1. 下列说法正确的是 （ ）
A. 向量 与非零向量 共线， 与 共线，则 与 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量 与 共线，则 .
2.已知平行六面体 ，M是AC与BD交点，若 ，
则与 相等的向量是 （ ）
A. B.
C. D.
3.下列命题中：
①若 ，则 ， 中至少一个为
②若 且 ，则
③
④
正确有个数为 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
3.已知 中， 所对的边为 ，且 , ,则 =
4.已知向量 满足 ， ， ，则 ________
三、解答题
6.已知平行六面体 ，点M是棱AA 的中点，点G在对角线A C上，且CG:GA =2:1,设 = ， ，试用向量 表示向量 .

创新与实践:
已知 为平行四边形，且 ，求 的坐标.

错误反思

题号错题分析正确解法

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)

一、选择题
1. 则 （ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

2. 若 ，且 的夹角为钝角，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知 ， 且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
4. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且
，则点B的坐标是 .
5. 已知 ，且 ，则x＝ .
三、解答题
6.已知 ，求：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； （5） .

创新与实践:
已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：
⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点 的坐标x、y、z满足的条件．

错误反思

题号错题分析正确解法
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(二)
一、选择题
1. 若 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是 （ ）
A. B.
C. D.
2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知 , 与 的夹角为120°，则 的值为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题
4.在三棱锥OABC中，G是 的重心（三条中线的交点），选取 为基
底，试用基底表示 ＝ .
5.已知关于x的方程 有两个实根， ，且
，当t＝ 时， 的模取得最大值.
三、解答题
如图,在单位正方体 中，点 分别是 的一个四等分点.
(1)求 与 的坐标;
(2)求 与 所成的角的余弦值．

创新与实践:
如图，正方体 的棱长为 ，
⑴ 求 的夹角； ⑵求证： .

错误反思

题号错题分析正确解法

§4 用向量讨论垂直与平行（一）

一、选择题
1.若 ＝ ， ＝ ，则 是 的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不不要条件
2.已知 且 与 互相垂直，则 的值是 （ ）
A.1 B. C. D.
3.下列各组向量中不平行的是 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
4.设 分别是直线 的方向向量，则直线 的位置关系
是 .
5.已知向量 ，若 ，则 ______；若 则 ______.
三、解答题
6.设 分别是平面 的法向量，判断平面 的位置关系：
⑴ ；
⑵ .

创新与实践:
如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E为PB的中点，在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC。


错误反思
题号错题分析正确解法

§4 用向量讨论垂直与平行(二)
一、选择题
1.下列说法正确的是 （ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若 是直线 的方向向量， ，则
2.已知 ，能做平面 的法向量的是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知 ， ，则以 、 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C.4 D.
二、填空题
4.设 分别是平面 的法向量，则平面 的位置关系
是 .
5.若向量 ，则这两个向量的位置关系是___________.
三、解答题
6.如图，在四面体 中， ，点 分别是 的中点．
求证：
（1）直线 面 ；
（2）平面 面 ．

创新与实践:
用向量方法证明：(三垂线定理的逆定理)如果平面内的一条直线 垂直于平面外的一条直线b,那么直线 垂直于直线b在这个平面上的射影 .

错误反思

题号错题分析正确解法

§5 夹角的计算（一）

一、选择题
1.已知向量 ，若 ，设 ，则 与 轴夹角
的余弦值为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为 （ ）

A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1
3.在正方体 中， 为 的交点，则 与 所成角的
（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
二、填空题
4.若 ，且 ，则 与 的夹角为____________.
5.若向量 与 的夹角为 ， ， ，则 .
三、解答题
6.设空间两个不同的单位向量 与向量 的夹角
都等于45.
(1)求 和 的值； (2)求 的大小.

创新与实践:
如图，已知点P在正方体 的对角线 上，∠PDA=60°.
求DP与 所成角的大小.

错误反思

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§5 夹角的计算（二）

一、选择题
1.若A ，B ，C ，则△ABC的形状是 （ ）
A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
2.若向量 ，且 与 的夹角余弦为 ，则 等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成
角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
4.直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°， ，AA1=6，E为AA1
的中点，则平面EBC1与平面ABC所成的二面角的大小为 .
5.在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为 和 ，则异面
直线 和 所成角的余弦值为 .
三、解答题
6.如图3，已知直四棱柱 中， ，底面 是直角梯形， 是直角， ，求异面直线 与 所成角的大小.


创新与实践:
如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1， ,AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点.
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.

错误反思
题号错题分析正确解法

§6 距离的计算（一）
一、选择题
1.设 ， ， ，则线段 的中点 到点 的距离
为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
3.四边形 为正方形， 为平面 外一点， ，二面角
为 ，则 到 的距离为 （　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2Ｄ．
二、填空题
4.如图，P―ABCD是正四棱锥， 是正方体，
其中 ，则 到平面PAD的距离为 .
5.已知正方体 的棱长是 ，则直线 与
间的距离为 。
三、解答题
6.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4,BC=2,1=3,BE=1,求点C到平面AEC1F的距离.

创新与实践:
如图, 是矩形, 平面 , , , 分别是 的中点,求点 到平面 的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法

§6 距离的计算 （二）

一、选择题
1.正方体 的棱长为1，
是 的中点，则点 到平面 距离等于 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
2．一条长为 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是 和 ，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.三角形ABC的三个顶点分别是 ， ， ，则AC边上的高BD长为 （ ）
A.5 B. C.4 D.
二、填空题
4. 已知 是异面直线，那么：
①必存在平面 过 且与 平行； ②必存在平面 过 且与 垂直；
③必存在平面 与 都垂直； ④必存在平面 与 距离都相等．
其中正确命题的序号是 ．
2. 已知空间四边形 ，点 分别为 的中点，且
,用 ， ， 表示 ，则 =______________________.
三、解答题
6. 如图，在长方体 中， ，点 在棱 上移
（1）证明： ；
（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离.
创新与实践:
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 底面 ， ， ， ， 为 的中点.求在侧面 内找一点 ，使 面 ，并计算点 到 和 的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法

本章小结测试
一、选择题
1. 已知 ，则 的最小值是 （ ）
A. B. C. D.
2.将正方形 沿对角线 折成直二面角后，异面直线 所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.

3. 正方体 的棱长为 ， ,N是 的中点，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
4. 已知 ，且 ，则k＝ 　　 　.
5. 空间两个单位向量 与 的夹角都等于 ，则 .
三、解答题
6.如图，在棱长为1的正方体 中，点 分别为 的中点.
⑴ 求证： ;
⑵ 求 与 所成角的余弦值；
⑶ 求 的长.

创新与实践:
如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？