高二数学选修4-4第二章检测题(北师大版含答案)

详细内容

综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为(　　)
A.x＝rcos φy＝rsin φ　　　　B.x＝r1＋cos φy＝rsin φ
C.x＝rcos φy＝r1＋sin φ D.x＝r1＋cos 2φy＝rsin 2φ
【解析】　如图知OM＝2rcos φ，设M点坐标为(x，y)．

∴x＝OM•cos φ＝2rcos2φ＝r(1＋cos 2φ)
y＝OM•sin φ＝2rcos φ•sin φ＝rsin 2φ
∴参数方程为x＝r1＋cos 2φ，y＝rsin 2φ，故选D.
【答案】　D
2．下列参数方程(t为参数)中与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的是(　　)
A.x＝tan ty＝1＋cos 2t1－cos 2t B.x＝tan ty＝1－cos 2t1＋cos 2t
C.x＝|t|y＝t2 D.x＝cos ty＝cos2t
【解析】　普通方程中的x∈R，y≥0，A中y＝2cos2t2sin2t＝1tan2t＝1x2.
得x2y＝1，故A不正确；C中x＝|t|≥0，不正确；D中x＝cos t∈[－1,1]，不正确，故选B.
【答案】　B
3．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
【解析】　设线段AB的中点为M(x，y)
则x＝2sin θ－2cos θ，y＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)，
∴3x＋2y＝12sin θ，3x－2y＝－12cos θ.
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得x28＋y218＝1，表示椭圆．
【答案】　C
4．参数方程x＝1t，y＝1tt2－1(t为参数)所表示的曲线是(　　)

【解析】　由x＝1t得：t＝1x，
代入y＝1tt2－1，得：xKb 1.
当x＞0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x＜0时，x2＋y2＝1，此时y≤0，对照选项，可知D正确．
【答案】　D
5．直线x＝3－t，y＝4＋t(t为参数)上与点P(3,4)的距离等于2的点的坐标是
(　　)
A．(4,3) B．(2,5)
C．(4,3)或(2,5) D．(－4,5)或(0,1)
【解析】　将x＝3－ty＝4＋t化为普通方程得：x＋y－7＝0，
由x＋y－7＝0，x－32＋y－42＝2，
解得：x＝4y＝3或x＝2，y＝5，故所求点的坐标为(4,3)或(2,5)．
【答案】　C
6．若动点(x，y)在曲线x24＋y2b2＝1(b＞0)上变化，则x2＋2y的最大值为(　　)
A.b24＋4　0＜b＜42b　　　b≥4
B.b24＋4　0＜b＜22b　　　b≥2
C.b24＋4
D．2b
【解析】　设动点的坐标为(2cos φ，bsin φ)，
代入x2＋2y＝4cos2φ＋2bsin φ
＝－(2sin φ－b2)2＋4＋b24，
当0＜b＜4时，(x2＋2y)max＝b24＋4；
当b≥4时，(x2＋2y)max＝－(2－b2)2＋4＋b24＝2b.
【答案】　A
7．直线x＝tsin 70°＋3，y＝－tcos 70°(t为参数)的倾斜角是(　　)
A．20° B．70°
C．110° D．160°
【解析】　令t′＝－t，直线的参数化为标准形式：x＝t′cos 160°＋3，y＝t′sin 160°(t′为参数)，
则直线的倾斜角为160°，故选D.
【答案】　D
8. 双曲线x＝3tan φ，y＝1cos φ( φ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是
(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
【解析】　由x＝3tan φ，y＝1cos φ⇒y2－x23＝1，两条渐近线的方程是y＝±33x，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
【答案】　C
9．(2013•新乡调研)直线x＝1＋12t，y＝－33＋32t(t为参数)与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB中点的坐标为(　　)
A．(3，－3) B．(－3，3)
C．(－3，－3) D．(3，3)
【解析】　将直线的参数方程代入圆的方程，得t1＝6，t2＝2，
∴线段AB的中点M对应的参数tM＝4，
∴x＝1＋12×4＝3，y＝－33＋32×4＝－3，
因此AB的中点坐标为(3，－3)．
【答案】　A
10．设曲线C的参数方程为x＝2＋3cos θ，y＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
【解析】　∵曲线C的方程为
x＝2＋3cos θ，y＝－1＋3sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l为x－3y＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l的距离d＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.
又∵71010＜3，141010＞3，
∴有两个点．
【答案】　B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)．
11．(2013•陕西高考)圆锥曲线x＝t2，y＝2t(t为参数)的焦点坐标是________．
【解析】　将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1,0)．
【答案】　(1,0)
12．直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cos α，y＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．
【解析】　将x＝2＋t，y＝－1－t消去参数t得直线x＋y－1＝0；将x＝3cos α，y＝3sin α消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有两个交点．
【答案】　2
13．已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
【解析】　根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，
依题意知△MEF为正三角形，由(p2＋3)cos 60°＝p得p＝2.
【答案】　2
14．(2013•湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x＝2s＋1，y＝s(s为参数)和直线l2：x＝at，y＝2t－1(t为参数)平行，则常数a的值为________．
【解析】　由x＝2s＋1，y＝s消去参数s，得x＝2y＋1.
由x＝at，y＝2t－1消去参数t，得2x＝ay＋a.
∵l1∥l2，∴2a＝12，∴a＝4.
【答案】　4
15．直线x＝tcos α，y＝tsin α(t为参数)，与圆x＝4＋2cos α，y＝2sin α(α为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.

【解析】　将参数方程化为普通方程，直线y＝x•tan α，圆(x－4)2＋y2＝4，
如图所示，
sin α＝24＝12，则α＝π6或5π6.
【答案】　π6或5π6
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝4cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝π3.
(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．
【解】　(1)由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2＝16.
因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝π3，所以直线l的参数方程为x＝2＋tcos π3，y＝2＋tsin π3，即x＝2＋12t，y＝2＋32t(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程x＝2＋12ty＝2＋32t代入圆C：x2＋y2＝16中，得(2＋12t)2＋(2＋32t)2＝16，t2＋2(3＋1)t－8＝0，
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则t1t2＝－8，即|PA|•|PB|＝8.
17．(本小题满分12分)(2013•安阳质检)已知曲线C：x＝4cos φ，y＝3sin φ(φ为参数)．
(1)将C的方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2x＋y的取值范围．
【解】　(1)由C：x＝4cos φy＝3sin φ，得
∴(x4)2＋(y3)2＝1即x216＋y29＝1.
(2)2x＋y＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)，(θ由tan θ＝83确定)．
∴2x＋y∈[－73，73]．
∴2x＋y的取值范围是[－73，73]．
18．(本小题满分12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线与圆x2＋y2＝25交于B，C两点．
(1)求BC的中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
【解】　(1)直线的参数方程为x＝5－35t，y＝－3＋45t(t为参数)，代入圆的方程得t2－545t＋9＝0.设BC的中点为M，
∴tM＝t1＋t22＝275，则xM＝4425，yM＝3325，中点坐标为M(4425，3325)．
(2)设切线方程为x＝5＋tcos α，y＝－3＋tsin α(t为参数)，代入圆的方程得t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，
cos α＝0或tan α＝815.
∴过A点的切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－b2a＝3sin α－5cos α，t1＝3，t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，(4017，－7517)．
19．(本小题满分13分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，直线l的参数方程为x＝x0＋12t，y＝32t(t为参数)．⊙O的极坐标方程为ρ＝2，若直线l与⊙O相切，求实数x0的值．
【解】　由直线l的参数方程消参后可得直线l的普通方程为y＝3(x－x0)．
⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
∵直线l与⊙O相切，∴圆心O(0,0)到直线l：3x－y－3x0＝0的距离为2，
即|3x0|2＝2，解得x0＝±433.
20．(本小题满分13分)(2013•南阳模拟)已知直线l的参数方程为x＝2＋tcos αy＝tsin α(t为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，与曲线x216＋y212＝1交于A，B两点．
(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
(2)求|PA|•|PB|的最大值．
【解】　(1)∵x＝2＋tcos αy＝tsin α，(t为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，
∴yx－2＝tsin αtcos α＝tan α，
∴直线l的普通方程为xtan α－y－2tan α＝0.
直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．
(2)∵l的参数方程为x＝2＋tcos α，y＝tsin α，椭圆的方程为x216＋y212＝1，右焦点的坐标为P(2,0)，
∴3(2＋tcos α)2＋4(tsin α)2－48＝0，
即(3＋sin2α)t2＋12cos α•t－36＝0.
∵直线l过椭圆的右焦点，
∴直线l恒与椭圆有两个交点，
∴t1•t2＝－363＋sin2α，
由直线参数方程t的几何意义，
∴|PA|•|PB|＝|t1•t2|＝363＋sin2α，
∵0≤α<π，且α≠π2，则0≤sin2α<1，
因此|PA|•|PB|的最大值为12.
21．(本小题满分13分)已知△ABC的顶点A(0,3)，底边BC在横轴上，|BC|＝2，当BC在横轴上移动时，求：
(1)△ABC外接圆圆心的轨迹方程；
(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为552的直线方程．
【解】　(1)设B(t－2,0)，C(t,0)，AC的垂直平分线方程为y＝t3•(x－t2)＋32，
△ABC的外心为O′，O′的轨迹方程是
x＝t－1，y＝16t2－13t＋32(t为参数)，
O′的轨迹普通方程为y＝16x2＋43.
(2)过(0,2)点的直线方程为y＝kx＋2，
联立得y＝16x2＋43，y＝kx＋2.
∴x2－6kx－4＝0，
设两根是x1，x2，
则(x1－x2)2＝36k2＋16；
∴弦长l2＝(1＋k2)(36k2＋16)＝1254，
∴k＝±12，所求直线方程为
x－2y＋4＝0或x＋2y－4＝0.