2014南京三中高二数学5月月考试题（带答案文科）

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2014南京三中高二数学5月月考试题（带答案文科）
填空题：（5’×14=70’）
1、函数 的定义域为_______
2、 ______
3、函数 的最小正周期为________
4、如图的伪代码输出的结果是________
5、“ ”是“ ”的_____________条件(在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”和“既不充分也不必要”中选择一个填空)
6、若矩形的长和宽分别为a、b，则矩形对焦线的长为 .类比此结论，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体对焦线的长为_______________
7、 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是_________
① ；② ；③ ；④
8、函数 在 处的切线方程为________
9、对某种电子元件进行寿命追踪调查，抽取一个200的样本，情况如下表：
寿命/小时100~200200~300300~400400~500500~600
个数2030804030
则这种电子元件的平均寿命为_______小时
10、设 ，则方程 没有实数根的概率是______
11、已知幂函 在 上是减函数，则m的值为
12、设复数 ，若 ，则复数 在复平面内对应的点在第 象限
13、方程 的一个根在区间 内，另一根在在区间 内， ，则 的值为_______
14、设 是定义在R上的偶函数，对任意 ，都有 ，且当 时， ，若在区间 内关于 的方程 恰有三个不同的实数根，则 的取值范围为
解答题： （14’+14’+14’+16’+16’ +16’）
15、已知函数 ，其中 且 .
⑴若 ，求a的值；
⑵若 在R上单调递减，求a的取值范围.

16、某社区共有居民600人，其中年龄在24~40岁的有288人，41~60岁的有192人，60岁以上的有120人.一社会调查机构就该社区居民的月收入调查了100人.
⑴若采用分层抽样，则41~60岁的居民中应抽取多少人？
⑵将所得数据分为6组并绘制了以下频率分布直方图，求在这600人中收入在[3000，3500)段的人数，并补全频率分布直方图；
⑶设样本中收入在[3500，4000)段的居民中，居民甲与乙刚好来自于同一家庭，居民丙和丁来自于另一家庭，剩余的居民来自于不同家庭。现从这些居民中任取3人，则这3人均来自于不同家庭的概率是多少？

17、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．

18、已知命题p：函数 在 上单调递减.
⑴求实数m的取值范围；
⑵命题q：方程 在 内有一个零点. 若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.

19、已知函数 在其定义域上为奇函数．
⑴求m的值；
⑵若关于x的不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．

20、已知函数f(x)＝ax＋bxex，a，b∈R，且a＞0．
⑴若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
⑵设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．
①当a＝1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
②设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求ba的取值范围．

9、_______365_______ 10、_______ _______ 11、________-1_______ 12、_______三________

16、【解】⑴32；
⑵90；
⑶ .

17、【解】(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝ABsin 120°BC＝12×3228＝3314.
18、【解】⑴ ，
⑵ 对称轴为 ，
①当 时， ， 的根为1，符合题意；

当 时， ，由 得定义域为 . .
⑵设 在 是增函数， 在 是增函数. 又 为奇函数，

综上， 的取值范围是 .

20、【解】⑴当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋1x)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以f ′(x)＝(x＋1)(2x－1)x2ex．令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝12，列表
x(－∞，－1)－1(－1，0)(0，12)
12
(12，＋∞)

f ′(x) －－
f (x)ㄊ极大值ㄋㄋ极小值ㄊ
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f (12)＝4e．
⑵① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－bx－2a)ex，
当a＝1时，g (x)＝(x－bx－2)ex．
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x－xex在x∈（0，＋∞）上恒成立．
记h(x)＝x2－2x－xex（x＞0），则h′(x)＝(x－1)(2ex＋1)ex．
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．所以b的最大值为－1－e－1．
②因为g (x)＝(ax－bx－2a)ex，所以g ′(x)＝(bx2＋ax－bx－a)ex．
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－bx－2a)ex＋(bx2＋ax－bx－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．
因为a＞0，所以ba＝2x3－3x22x－1．设u(x)＝2x3－3x22x－1（x＞1），则u′(x)＝8x[(x－34)2＋316](2x－1)2．
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
所以ba＞－1，即ba的取值范围为（－1，＋∞）．