2014沭阳县高二数学第二学期期末试卷（含答案苏教版）

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2014沭阳县高二数学第二学期期末试卷（含答案苏教版）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1. 已知集合 ，则 _________。
2. 如果复数 是实数，则实数 _________。
3. 已知 ，则 的值为_________。
4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 作为点P的横、纵坐标，则点P在直线 上的概率为_________。
5. 已知函数 ，则 的值为_________。
6. 执行下边的程序框图，若 ，则输出的 _________。

7. 直线 平分圆 的周长，则 __________。
8. 等比数列 的各项均为正数， ，前三项的和为21，则 __________。
9. 已知实数 满足 ，若 在 处取得最小值，则此时 __________。
10. 在R上定义运算⊙： ⊙ ，则满足 ⊙ 的实数 的取值范围是__________。
11. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D为斜边BC的中点，则 的值为__________。
12. 已知函数 ，则该函数的值域为__________。
13. 把数列 的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第 行有 个数，第 行的第 个数（从左数起）记为 ，则 可记为__________。

14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿 轴滚动，设顶点 的纵坐标与横坐标的函数关系式是 ， 在其两个相邻零点间的图象与 轴所围区域的面积记为S，则S=__________。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分14分）
在△ABC中，AB= ，BC=1， 。
（1）求 的值；（2）求 的值。
16. （本小题满分14分）
如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD。
17. （本小题满分14分）
如图，在半径为 的 圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长 ，圆柱的体积为 。

（1）写出体积V关于 的函数关系式；
（2）当 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？
18. （本小题满分16分）
已知函数 的定义域为（0， ），且 ，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为M、N。
（1）求 的值；
（2）问： 是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。

19. （本小题满分16分）
已知椭圆 的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率 。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥ 轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线 轴，连结AQ并延长交直线 于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

20. （本小题满分16分）
已知等差数列 中， ，令 ，数列 的前 项和为 。
（1）求数列 的通项公式；（2）求证： ；
（3）是否存在正整数 ，且 ，使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。

高二(文)参考答案
一、填空题：
1. 2. －13. 4. 5. 26. 7. －5
8. 1689. （－1，0）10. （－2，1）11. 1812. ［1，2］
13. （10，495）14.

二、解答题
15. 解：（1）在△ABC中，∵ ，∴
由正弦定理得： ，即 ，∴ 。（7分）
（2）由余弦定理可得： （舍）。
∴ 。（14分）
16. 证明：
（1）AD⊥平面ABE，AE 平面ABE，∴AD⊥AE，
在矩形ABCD中，有AD∥BC，∴BC⊥AE。
∵BF⊥平面ACE，AE 平面ABE，∴BF⊥AE，
又∵BF BC=B，BF，BC 平面BCE，
∴AE⊥平面BCE。（7分）
（2）设AC BD=H，连接HF，则H为AC的中点。
∵BF⊥平面ACE，CE 平面ABE，∴BF⊥CE，
又因为AE=EB=BC，所以F为CE上的中点。
在△AEC中，FH为△AEC的中位线，则FH∥AE
又∵AE 平面BFE，而FH 平面BFE
∴AE∥平面BFD。（14分）

17. 解：（1）连结OB，∵ ，∴ ，
设圆柱底面半径为 ，则 ，
即 ，
所以
其中 。（7分）

（2）由 ，得
因此 在（0， ）上是增函数，在（ ，30）上是减函数。
所以当 时，V有最大值。（14分）


当且仅当 ，即 时取等号，故四边形OMPN面积的最小值 。（16分）
19. 解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以 ，又椭圆的离心率 得 ，
即 ，由 得 ，所以 ，
故所求椭圆方程为 。（6分）
（2）设 ，则 ，设 ，∵HP=PQ，∴
即 ，将 代入 得 ，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。
又A（－2，0），直线AQ的方程为 ，令 ，则 ，
又B（2，0），N为MB的中点，∴ ， ，
∴
，∴ ，∴直线QN与圆O相切。（16分）
20. 解：（1）设数列 的公差为 ，由 ， 。
解得 ， ，∴ 。（4分）
（2）∵ ， ，∴
∴
∴ 。（8分）
（3）由（2）知， ，∴ ， ， ，
∵ ， ， 成等比数列，∴ ，即
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， 无正整数解；
当 时， ， 无正整数解；
当 时， ， 无正整数解；
当 时， ， 无正整数解；
当 时， ，则 ，而 ，
所以，此时不存在正整数 ，且 ，使得 ， ， 成等比数列。
综上，存在正整数 ，且 ，使得 ， ， 成等比数列。（16分）