高二数学上册课后强化练习题(有答案)
详细内容
3.2
一、选择题
1.设-3π<α<-5π2,则化简1-cos(α-π)2的结果是( )
A.sinα2 B.cosα2
C.-cosα2D.-sinα2
[答案] C
[解析] ∵-3π<α<-52π,∴-32π<α2<-54π,
∴cosα2<0,
∴原式=1+cosα2=|cosα2|=-cosα2.
2.若sinα+sinβ=33(cosβ-cosα)且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.-23πB.-π3
C.π3D.23π
[答案] D
[解析] ∵α,β∈(0,π),∴sinα+sinβ>0.∴cosβ-cosα>0,cosβ>cosα,又在(0,π)上,y=cosx是减函数.∴β<α∴0<α-β<π
由原式可知:2sinα+β2•cosα-β2=33(-2sinα+β2•sinβ-α2),∴tanα-β2=3,∴α-β2=π3,∴α-β=2π3.
3.在△ABC中,若sinBsinC=cos2A2,则△ABC是( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.不等边三角形D.直角三角形
[答案] B
[解析] ∵sinBsinC=cos2A2,∴sinBsinC=1+cosA2,即2sinBsinC=1-cos(B+C),2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC,
即cosBcosC+sinBsinC=1,
∴cos(B-C)=1,∴B-C=0,∴B=C.
4.在△ABC中,若B=30°,则cosAsinC的取值范围是( )
A.[-1,1]B.[-12,12]
C.[-14,34]D.[-34,14]
[答案] C
[解析] cosAsinC=12[sin(A+C)-sin(A-C)]
=14-12sin(A-C),
∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cosAsinC∈[-14,34].
5.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)•sin(α-β)等于( )
A.-a2 B.a2 C.-a D.a
[答案] C
[解析] 法一:sin(α+β)sin(α-β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α=-a,故选C.
法二:原式=-12(cos2α-cos2β)=-12(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-a.
6.函数f(x)=cos2x+sinxcosx的最大值是( )
A.2 B.32 C.2+12 D.1+222
[答案] C
[解析] f(x)=cosx(cosx+sinx)=cosx•2(22cosx+22sinx)=2cosxsin(x+π4)=22[sin(2x+π4)+sinπ4]=22sin(2x+π4)+12
∴当sin(2x+π4)=1时,f(x)取得最大值
即f(x)max=22×1+12=2+12.
7.若cos2αsinα-π4=-22,则cosα+sinα的值为( )
A.-72 B.-12 C.12 D.72
[答案] C
[解析] 法一:原式左边=sinπ2-2α-sinπ4-α
=2sinπ4-αcosπ4-α-sinπ4-α
=-2cosπ4-α=-2(sinα+cosα)=-22,
∴sinα+cosα=12,故选C.
法二:原式=cos2α-sin2αsinα•cosπ4-cosα•sinπ4
=(cosα-sinα)(cosα+sinα)22(sinα-cosα)
=-2(sinα+cosα)=-22,
∴cosα+sinα=12,故选C.
8.设5π<θ<6π,cosθ2=a,则sinθ4等于( )
A.1+a2B.1-a2
C.-1+a2D.-1-a2
[答案] D
[解析] ∵5π<θ<6π,∴5π4<θ4<3π2,
∴sinθ4=-1-cosθ22=-1-a2.
9.(09•江西文)函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小正周期为( )
A.2π B.3π2 C.π D.π2
[答案] A
[解析] 因为f(x)=(1+3tanx)cosx=cosx+3sinx
=2cosx-π3,
所以f(x)的最小正周期为2π.
10.已知-3π2<α<-π,则12+12•12+12cos2α的值为( )
A.-sinα2B.cosα2
C.sinα2D.-cosα2
[答案] A
[解析] 原式=12+12cos2α
=12+12(-cosα)=12(1-cosα)
=|sinα2|=-sinα2,∴选A.
二、填空题
11.若cos2α=m(m≠0),则tanπ4+α=________.
[答案] 1±1-m2m
[解析] ∵cos2α=m,∴sin2α=±1-m2,
∴tanπ4+α=1-cos2π4+αsin2π4+α
=1+sin2αcos2α=1±1-m2m.
12.1sin10°-3sin80°的值为________.
[答案] 4
[解析] 原式=1sin10°-3cos10°=cos10°-3sin10°sin10°cos10°
=2cos(10°+60°)12sin20°=4.
13.已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinαcosα+sinα,则tan(α+β)=________.
[答案] 1
[解析] tanβ=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tanπ4-α,
∵π4-α,β∈-π2,π2且y=tanx在-π2,π2上是单调增函数,
∴β=π4-α,∴α+β=π4,∴tan(α+β)=tanπ4=1.
三、解答题
14.求sin42°-cos12°+sin54°的值.
[解析] sin42°-cos12°+sin54°
=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°
=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°
=2cos36°sin18°cos18°cos18°=cos36°sin36°cos18°
=2cos36°sin36°2cos18°=sin72°2cos18°=12.
15.求cos2π7+cos4π7+cos6π7的值.
[解析] cos2π7+cos4π7+cos6π7=12sinπ7•
2sinπ7cos2π7+2sinπ7cos4π7+2sinπ7cos6π7
=12sinπ7sin3π7-sinπ7+sin5π7-sin3π7
+sin7π7-sin5π7=12sinπ7sinπ-sinπ7=-12.
16.方程8x2+6kx+2k+1=0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值,若能,求出k的值;若不能,请说明理由.
[解析] 设直角三角形两锐角分别为α、β,设已知方程的两根为x1、x2,
则x1=sinα,x2=sinβ=sinπ2-α=cosα
由韦达定理得:
x1+x2=sinα+cosα=2sinα+π40<α<π2
x1•x2=sinα•cosα=12sin2α0<α<π2
于是有x21+x22=11
故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值.
[点评] 此题易产生下面错解.
设直角三角形的两个锐角分别为α和β.
已知方程的两根为x1和x2,则x1=sinα,x2=sinβ.
又α与β互余,∴x2=sinπ2-α=cosα.
由sin2α+cos2α=1得
x21+x22=1⇒(x1+x2)2-2x1x2=1.
由韦达定理得:-6k82-2•2k+18=1⇒9k2-8k-20=0.解得:k1=2,k2=-109.
错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0,锐角的三角函数值应为正值的条件.事实上,当k=2时,原方程可化为8x2+12x+5=0,此时Δ<0,方程无实根.当k=-109时,原方程化为:8x2-203x-119=0,此时x1x2=-1172,即sinαcosα=-1172.∵α是锐角,∴该式显然不成立.
17.求函数y=cos3x•cosx的最值.
[解析] y=cos3x•cosx=12(cos4x+cos2x)
=12(2cos22x-1+cos2x)=cos22x+12cos2x-12
=cos2x+142-916.
∵cos2x∈[-1,1],
∴当cos2x=-14时,y取得最小值-916;
当cos2x=1时,y取得最大值1.