2015届高考数学教材知识点复习正余弦定理导学案

详细内容

【学习目标】
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
预 习 案
1．正弦定理
asinA＝ ＝ ＝2R 其中2R为△ABC外接圆直径．
变式：a＝ ，b＝ ，c＝ .
a∶b∶c＝ ∶ ∶ .
2．余弦定理
a2＝ ；　b2＝ ；
c2＝ .
变式：cosA＝ ；cosB＝ ；
cosC＝ .
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinosA.
3．解三角形
(1)已知三边a、b、c.运用余弦定理可求三角A、B、C.

(2)已知两边a、b及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c
(3)已知两边a、b及一边对角A. 先用正弦定理，求sinB：sinB＝bsinAa.
①A为锐角时，若ab， ．
4．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．
4．三角形常用面积公式 (1)S＝12a•ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
【预习自测】
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A 等于 (　　)
A.π12　 　 　B.π6 C.π4 D.π3

2．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝ (　　)
A.1010 B.105 C.31010 D.55

3．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．

4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C ＝________.

5．△ABC中，已知c＝102，A＝45°，在a分别为20,102，2033，10和5的情况下，求相应的角C.

探 究 案
题型一：利用正余弦定理解斜三角形
例1.(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.

(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．

拓展1：(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a>b，则∠B＝________.

(2)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.
①求A； ②若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.

题型二：面积问题
例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，
bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a.
(1)求证：B－C＝π2； (2)若a＝2，求△ABC的面积．

拓展2.△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

题型三：判断三角形形状
例3;(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋osB＝asinA，则△ABC的形状为 (　　)
A．锐角三角形　　　B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

(2)在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为 (　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

拓展3. (1)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)•sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

(2)在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc. ①求角A的大小；

②若sinBsinC＝34，试判断△ABC的形状，并说明理由．

题型四：解三角形的应用
例4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

拓展4.　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

我的学习总结：
（1）我对知识的总结 .
（2）我对数学思想及方法的总结