2013年高三数学立体几何图形结构复习

详细内容

立体几何初步

1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．
2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．
3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．
6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．
7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．

本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．
其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．
再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．
第1课时 平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．
公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．
推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．
求证：点C1、O、M共线．
证明：
A1A∥1 确定平面A1C
A1C 面A1C O∈面A1C
O∈A1C
面BC1D∩直线A1C＝O O∈面BC1D
O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上
∴C1、O、M共线
变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．
提示：反证法．
例2. 已知直线 与三条平行线a、b、c都相交．求证： 与a、b、c共面．
证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C
a∥b a、b确定平面α l β
A∈a, B∈b
b∥c b、c确定平面β 同理可证l β
所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 c α a、b、c、l共面
变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．
证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，
即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．
∴P、Q、R共线，共线于直线l．
例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；
(2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．

证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴AB α，A1B1 α，∴AB、A1B1在同一个平面内
同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内
(2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可．
变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，
求证：(1) E、C．D1、F四点共面；
(2) CE、D1F、DA三线共点．
证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D1C
∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面
(2) 面D1A∩面CA＝DA
∴EF∥D1C 且EF＝ D1C
∴D1F与CE相交 又D1F 面D1A，CE 面AC
∴D1F与CE的交点必在DA上
∴CE、D1F、DA三线共点．
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．
证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点p d，由d和其外一点可确定一个平面α
又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线a α
同理可证：b、c α ∴a、b、c、d共面
(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点
∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β
又c∩b＝E ∴E∈β
同理c∩a＝F ∴F∈β
∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c β
同理可证：d β 故a、b、c、d共面
由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面
变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?
解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面 内，则A、B、C、D .由公理1知 , .这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。

1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．
2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．
3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．
第2课时 空间直线

1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ．
2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，
异面直线：不同在任 平面，没有公共点．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．
5．异面直线的判定定理
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)
6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．

例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2) 求AB和CD间的距离．
证明：(1) 连结CE、DE
AB⊥面CDE
∴AB⊥EF 同理CD⊥EF
∴EF是AB和CD的公垂线
(2) △ECD中，EC＝ ＝ED
∴EF＝
变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝ ，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。
例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
且 ASB＝ BSC＝ CSA＝ ，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝ NQ＝ SM＝ a BQ＝
∴COS∠QNB＝
∴∠QNB＝arc cos
变式训练2：正 ABC的边长为a，S为 ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离；
(2) 求异面直线SA和EF所成角．
答案：(1) (2) 45°
例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P
分别为A1B1、BB1、1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，与AM所成角；
(2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．
解：(1) D1P与AM成90°的角
与AM所成角为arc cos .
(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1.
变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，
若BC＝CA＝1，求NM与AN所成的角．
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝1＝2，则AG＝AN＝ ，GN＝B1M＝ ，
cos∠GNA＝ 。
例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底
面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．
（1）证明：∵EF∥CD AM∥CD
∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形
∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD
∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF
又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD
∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线．
(2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得 ＝(0， ， )，
＝(1，0，0)
面MFEA的法向量为 ＝(0，1，－3)， ＝(1，1，0)，cos< ， >＝ ．∴ AC与面EAM所成的角为 －arc cos ，其正弦值为 ．
变式训练4：如图，在正方体 中，
E、F分别是 、CD的中点．
（１）证明 ；
（２）求 与 所成的角。
（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1
又DF1 DC1，所以AD⊥D1F.
（2）取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。

1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；
(3)求角．
2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．
3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．
第3课时 直线和平面平行

1．直线和平面的位置关系 、 、 ．
直线在平面内，有 公共点．
直线和平面相交，有 公共点．
直线和平面平行，有 公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行 线面平行)
3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)

例1．如图，P是 ABC所在平面外一点，M PB，
试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．
解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点，
连AN则平面AMN为所求
根据线面平行的性质定理及判定定理
变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN．
求证：MN∥平面BB1C1C．
证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1
在面AC内作NN1∥AB交BC于N1
易证MM1 NN1即可
例2. 设直线a∥ ，P为 内任意一点，求证：过P且平行a的直线 必在平面 内．
证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a
又a∥l l∩a'＝p
∴a与a'重合 ∴l α
变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
解：已知α∩β＝l a∥α a∥β 求证：a∥l
证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C，
∵a∥α，∴a∥b
同理，∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c
又∵b β 且c β ∴b∥β
又平面α经过b交β于l
∴b∥l且a∥b ∴a∥l
例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB；
( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
(1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO．
( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．
设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．
∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD，
BF为BE在底面ABCD内的射影，
∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，BF＝
∵ EF＝ PD＝ ，∴ 在Rt△EFB中，
tan∠EBF＝ ．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 ．
变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱
AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？
解：易证截面EFGH是平行四边形
设AB＝a CD＝b ∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角)
又设FG＝x GH＝y 由平几得
∴ ＝1 ∴y＝ (a－x)
∴S□ EFGH＝FG•GH•sinα＝x• (a－x)sinα
＝ x(a－x)
∵x＞0 a－x＞0 且x＋(a－x)＝a为定值
∴当且仅当 x＝a－x
即x＝ 时(S□ EFGH)max＝
例4．已知： ABC中， ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将 ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD．
证明：取A'C的中点N，连MN、DN，
则MN BC，DE BC
∴MN DE ∴ME∥ND
又ME 面A'CD ND 面A'CD
∴ME∥面A'CD
变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
( 1 ) 求证：AC⊥BC1；
(2) 求证：AC1∥平面CDB1；
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1
∴DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；
（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝ AC1＝ ，CD＝ AB＝ ，CE＝ CB1＝2 ，∴cos∠CED =
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 ．

1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．
第4课时 直线和平面垂直

1．直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．
2．直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3．直线和平面垂直性质
若a⊥ ，b 则
若a⊥ ，b⊥ 则
若a⊥ ，a⊥ 则
过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
4．点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．
5．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．

例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为 ABC的垂心．求证：OG 平面ABC．
证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直
∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC
又G为△ABC的垂心
∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG
∴BC⊥OG
同理可证：AC⊥OG 又BC∩AC＝C
∴OG⊥平面ABC
变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．
证明：(1) BC⊥面SAB
(2) 由(1)有 AE⊥面SBC
(3) 由(2)有 SC⊥面AEF SC⊥EF
例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．
(1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若 PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R
∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA
而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD
∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形
M为AB中点，O为AC中点 ∴MO⊥CD
∴CD⊥MN
(2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA
又O为MR的中点，且NO⊥MR
∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45°
∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD
∴MN⊥平面PCD
变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．
求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC．
证明：略
例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝ BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
(1)证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在
平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC，
∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE
∵F为PB中点，∴EF⊥PB．
由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，
∴EF⊥FA．
∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．
(2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝ ，PA＝ ，AC＝ ．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．
∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
由△EGC∽△BGA可知EG＝ GB，EG＝ EB，AG＝ AC＝ ．
由△EGH∽△BGF可知GH＝ BF＝
∴sin∠GAH＝
∴AC与面AEF所成的角为arc sin ．
变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD， BAD＝ BDC＝90°，AB＝AD＝3 ，BC＝2CD．求：
(1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD；
(3) 求D点到平面ABC的距离d．

解：(1) (2)略．
(3)因VA－DBC＝ ( DC×BD)×OA＝6 ，
又VD－ABC＝ ( AB×AC)×d＝ d，
VA－BCD＝VD－ABC，则 d＝6 ，解得d＝ .
例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱1上，且1＝4CP．
(1) 求直线AP与平面B1B1所成角的大小；
(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H AP；
(3) 求点P到平面ABD1的距离．
答案： (1) ∠APB＝arctan
(2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD
∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP
而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP
(3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M
则PM＝
变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．
(1) 求证H是△ABC的垂心；
(2) ．

(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，
∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，
∴VA⊥VBC面，又BC VBC面，∴BC⊥VA．
∵VH⊥ABC面，BC ABC面，
∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面．
又AD VHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB，
∴H是△ABC的垂心．
(2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC
AB2×VE2＝ AB2×EH×EC，
即 ．

线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；
(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若 ∥ ，a⊥ 则a ⊥
第5课时 三垂线定理

1．和一个平面相交，但不和这个平面
的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．
2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；
(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ．
斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ．
垂线在平面上的射影只是 ．
直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线．
3．如图，AO是平面 斜线，A为斜足，OB⊥ ，B
为垂足，AC ，∠OAB＝ ， BAC＝ ，
∠OAC＝ ，则cos ＝ ．
4．直线和平面所成的角
平面的斜线和它在这个平面内的 所成
的 叫做这条直线和平面所成角．
斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．
5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．

例1. 已知Rt ABC的斜边BC在平面 内，A到 的距离2，两条直角边和平面 所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面 所成的角；
(2) 点A在 内的射影到BC的距离．
答案：(1) 60° (2)
变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．
解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10

例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1
分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿
BB1，1折成三棱柱，若面对角线A1B1 BC1；
求证：A2C A1B1．
解：取A2B1中点D1 ∵A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1
又A1A2⊥面A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2
∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影
由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1
取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影
∵A2D BD1 ∴A2DBD1是平行四边形
由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D
∴A2C⊥A1B1
变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱1到M的最短路线长 ，设这条最短路线与1交点N，求：
(1) PC和NC的长；
(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小．
解：将侧面BB1C1C绕棱1旋转120°使其与侧面
AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，
连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱1到点M的最短路线
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2
∴PC＝P1C＝2 ∵ ∴NC＝
(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)
在Rt△PHC中 ∵∠PCH＝ ∠PCP1＝60°
∴CH＝ ＝1
在Rt△PHC中 tanNHC＝
故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan
例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
(1) 试确定点F的位置，使得D1E 面AB1F；
(2) 当D1E 面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小．
解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影
∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影
∴D1E⊥AF DE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF
即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F
(2) 当D1E⊥平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影
∴C1H⊥EF
即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角
在Rt△C1HC中 ∵C1C＝1 CH＝ AC＝
∴tan∠C1HC＝
∴∠C1HC＝arctan 2
∴∠AHC1＝π－arctan2
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，
(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；
(2) 求证：PQ⊥AD．
(1) 解：过Q作QM∥1交BC于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM就是所求角
∵ 即 ∴
∴ ∴PM∥AB
在Rt△PQM中 PM＝ QM＝
∴tan∠QPM＝ ＝ ＝ ＋1
(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ在面ABCD内的射影是PM.
∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD
例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1) 证明：D1E⊥A1D；
(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
(3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为 ．

(1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E．
(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝ ，AD1＝ ， ＝ • • ＝ ，而 ＝ •AE•BC＝ ．
∴ ＝ •DD1＝ •h
∴ ×1＝ ×h， ∴h＝
(3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x
在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝ ，∴DH＝1
∵在Rt△ADE中，DE＝ ，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝ ，CE＝ ，则x＋ ＝ ，解得x＝2－ ．
即当x＝2－ 时，二面角为D1－EC－D的大小为 ．
变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝ a．
(1) 求证：PD⊥面ABCD；
(2) 求直线PB与AC所成角；
(3) 求二面角A－PB－D大小．
证明：(1) ∵PC＝ a PD＝DC＝a
∴PD2＋DC2＝PC2
∴△PDC是直角三角形 ∴PD⊥DC
同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D
∴PD⊥平面ABCD
(2) 连BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理)
∴PB与AC所成角为90°
(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB于E，连OE
∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC 面ABCD
∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB
又∵OE是AE在平面PDB内的射影
∴OE⊥PB
∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角
又∵AB＝a PA＝ PB＝
∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB
在Rt△PAB中 AE•PB＝PA•AB
∴AE＝ AO＝
∴sin∠AEO＝ ∴∠AEO＝60°

1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．
2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．
３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面 线⊥线；向量法．
第6课时 平面与平面平行

1．两个平面的位置关系：
2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．

例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN
AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E
∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角
易求得 cos∠AMN＝
变式训练1：如图， ∥ ，AB交 、 于A、B，
CD交 、 于C、D，AB CD＝O，O在两平面之间，
AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．
解：依题意有AC∥DB 即
∴OD＝ ∴CD＝ ＋6＝
例2 . 已知平面 ∥平面 ，AB、CD是夹在平面 和平面 间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且 ．求证：EF∥ ∥ ．
证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD
∵α∥β ∴AC∥BD 又∵
∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β
2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD
在AA'截点O，使
∴EO∥BA' OF∥A'D
∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点
∴EF∥α∥β
变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是1、B1C1、C1D1的中点．
求证：(1) AP MN；
(2) 平面MNP∥平面A1BD．
证明：(1) 连BC1 易知AP在B1B1内射影是BC1
BC1⊥MN ∴AP⊥MN
(2) ∵ 面MNP∥面A1BD
例3.已知a和b是两条异面直线．
(1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；
(2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离．
(1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q
过Q作a'∥a 设a, b'确定一个平面α
a', b确定平面β a'∥a a α ∴a'∥α
同理b∥α 又a'、b β ∴α∥β
因此，过a和b分别存在两个平面α、β
(2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a'
a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β 同理AB⊥α
因此，a, b间的距离等于α与β间的距离．
变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．

解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，
∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝ AB＝ AB，同理DE＝ AC．
S△DEF＝ DF•DE sin∠EDF＝ S△ABC＝96．
例4.如图，平面 ∥平面 ， ABC． A1B1C1分别在 、 内，线段AA1、BB1、1交于点O，O在 、 之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．
求 A1B1C1的面积．
解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1
同理AC∥A1C1 BC∥B1C1
∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝ AB•AC•sin60°＝
∴
∴ ＝
变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ a，点E是PD的中点．
（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．
（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AD＝AC＝a，
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB，
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因为 ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ ＋
＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋
∴ 、 、 共面．
PB 平面EAC，所以PB∥平面EAC．
（2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝ a，AG＝ a，GH＝AG sin 60°＝ a，
所以tanθ＝ ．

1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．
2．正确运用两平面平行的性质．
3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线 线∥面 面∥面．
第7课时 两个平面垂直

1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．
3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．
4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝ ，其中：d是异面直线a、b的 ，θ为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A，A'的距离．
例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明：略
变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求证：AB⊥BC；
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．
证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC
∴AH⊥BC， 又SA⊥BC
∴BC⊥平面SAB ∴BC⊥AB
(2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60°
例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求：
(1) 直线AB和棱a所成的角；
(2) 直线AB和平面Q所成的角．
答案：(1) arc sin (2) arc sin
变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1） 证明：平面PED⊥平面PAB；
（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．
（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB 面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE 面PED，PD 面PED，DE∩PD＝D，
∴AB⊥面PED，∵AB 面PAB．∴面PED⊥面PAB．
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE 面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF 面PED，∴AB⊥EF．
∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．
设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝ ．
在△PEF中，PE＝ ，EF＝2，PF＝1
∴cos∠PEF＝
即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为 ．
例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 设AD＝2，CD＝2 ，求点A到面PEC的距离．
证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC
(2) 可证EG⊥平面PCD
(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1
变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
⑴ 证明：AB⊥平面VAD；
⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
（1）证明：
平面VAD⊥平面ABCD
AB⊥AD AB⊥平面VAD
AB 平面ABCD
AD＝平面VAD∩平面ABCD
（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE．
∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝ AD．
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE．
又由三垂线定理知BE⊥VD．
于是tan ∠AEB＝ ＝ ,
即得所求二面角的大小为arc tan
例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形B1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.
⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；
⑵ 求直线A1C与平面B1B1所成角的正切值；
(3) 求点C1到平面A1CB的距离．
证( 1) 因为四边形B1B1是矩形，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1．
（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC，
∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D．
∴ A1D⊥平面B1B1，
故∠A1CD为直线A1C与平面B1B1所成的角，
在矩形B1B1中，DC＝ ，因为四边形A1ABB1是菱形．
∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2
∴ tan∠A1CD＝ ．
（3）∵ B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC．
∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．
连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B．
∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，
∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离．
∵B1O＝2 ∴ C1到平面A1BC的距离为2 ．
变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；
⑵ 求证AD⊥PB；
⑶ 求二面角A－BC－P的大小；
⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，
使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F为PC的中点

在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．

重形式更要重本质
――从高考题看立体几何图形结构学习
（山东卷•理19）如图，已知平面 平行于
三棱锥 的底面 ，等边
所在的平面与底面 垂直，且
设 .
　　（1）求证直线 是异面直线 与 的公垂线；
　　（2）求点Ａ到平面 的距离；
　　（3）求二面角 的大小.　
可用向量法与传统方法来处理，限于篇幅，易于操作的向量方法此处略去．本文重点从图形结构体系上进行分析．
　　试题（1）中两个垂直分别考查了通过平面平行（如图1）的平移方法和由线面垂直（如图2）实现的垂直证明．只不过，这些图形结构都依据一定的条件被镶嵌（隐藏）在空间图形三棱锥 里面．活生生的一个“看图找动物”游戏．

　　什么是空间观念？怎样培养空间观念？
　　在空间综合图形里依靠逻辑推理，寻找具有逻辑关联关系的基本图形结构的过程就是培养空间观念的过程．头脑里（眼睛里）找不到这种具有逻辑关联关系的图形结构，综合图形杂乱无章，就没有建立空间观念．
　　学习立体几何的一个重要的目的就是要培养这种空间观念．
　　“衬托法”是立体几何一大法宝．对于平行问题，异面直线问题，下面的思路极为灵验：以平面衬托之，以交线传递之．要证线面垂直，如若存在面面垂直，那只要在其中一个面内找交线的垂线；要证线线垂直，如若存在线面垂直，那只要一条线在面内，证明就成功了―――这就是衬托．要求点面距离在一个三棱锥中，它的体积、底面积都方便求出，即使你的垂线段不画出来（甚至不必知道画在哪里），那点面距离也求出来了―――还是衬托方法．
　　第（2）问可以用面面垂直“衬托”Ａ到平面 的垂线段，取 中点Ｈ，那个 就是所求．面面垂直的图形结构（如图3）就藏在平面 ⊥平面 里头．
　　

第（2）问又可以在三棱锥 （即三棱锥 ）
中使用等体积法“衬托”求出Ａ到平面 （即平面 ）的距离．
　　

立体几何学习抓住了立体几何学科特征的时候，可用“十六字诀”（始于已知，条件充分，衔接适当，言必有据）规范立体几何推演的逻辑修养，我们用图形结构串联立体几何知识体系：

　　我们还有平移法、射影法等立体几何思想方法，可以骄傲的说，任你命题者吹什么东南西北风，我自有我的玩法．