高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案(含答案)
详细内容
学案19 三角函数的图象与性质
导学目标： 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．
自主梳理
1．三角函数的图象和性质
函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性在______________________上增，在__________________________________上减在__________________________上增，在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数
2.正弦函数y＝sin x
当x＝____________________________________时，取最大值1；
当x＝____________________________________时，取最小值－1.
3．余弦函数y＝cos x
当x＝__________________________时，取最大值1；
当x＝__________________________时，取最小值－1.
4．y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的对称中心分别为____________、___________、______________.
5．y＝sin x、y＝cos x的对称轴分别为______________和____________，y＝tan x没有对称轴．
自我检测
1．(2010•十堰月考)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 ( )
A．1B．2C．3D．4
2．函数y＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是 ( )
A．x＝－π6B．x＝－π12
C．x＝π6D．x＝π12
3．(2010•湖北)函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为 ( )
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2010•北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x的最小正周期为 ( )
A．4πB．3πC．2πD．π
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
探究点一 求三角函数的定义域
例1 (2011•衡水月考)求函数y＝2＋log12x＋tan x的定义域．
变式迁移1 函数y＝1－2cos x＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．
探究点二 三角函数的单调性
例2 求函数y＝2sinπ4－x的单调区间．
变式迁移2 (2011•南平月考)(1)求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求函数y＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．
探究点三 三角函数的值域与最值
例3 已知函数f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
变式迁移3 设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋π3)的周期．
转化与化归思想的应用
例 (12分)求下列函数的值域：
(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2；
(2)y＝3cos x－3sin x，x∈[0，π2]；
(3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x.
【答题模板】
解 (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋12)2－12，cos x∈[－1,1]．
当cos x＝1时，ymax＝4，
当cos x＝－12时，ymin＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分]
(2)y＝3cos x－3sin x＝23cos(x＋π6)
∵x∈[0，π2]，∴π6≤x＋π6≤2π3，
∵y＝cos x在[π6，2π3]上单调递减，
∴－12≤cos(x＋π6)≤32
∴－3≤y≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分]
(3)令t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝t2－12，且|t|≤2.
∴y＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；
当t＝2时，ymax＝12＋2.
∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分]
【突破思维障碍】
1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形
如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．
2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．
提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．
1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．
2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x的单调区间来求．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011•黄山月考)已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是 ( )
A.π3B.2π3C．πD.4π3
2．(2010•安徽6校高三联考)已知函数y＝tan ωx (ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx的单调增区间是 ( )
A.2kπ－π6，2kπ＋π6 (k∈Z)
B.2kπ－π3，2kπ＋2π3 (k∈Z)
C.2kπ－2π3，2kπ＋π3 (k∈Z)
D.2kπ－π6，2kπ＋5π6 (k∈Z)
3．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是 ( )
A．0B．1C．－1D.π4
4．函数y＝－xcos x的部分图象是图中 ( )
5．(2011•三明模拟)若函数y＝sin x＋f(x)在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f(x)可以是( )
A．1B．cos x
C．sin xD．－cos x
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π8，则f(x)的最小正周期是________．
7．函数f(x)＝2sin x4对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．
8．(2010•江苏)定义在区间0，π2上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011•厦门月考)已知函数f(x)＝2cos4x－3cos2x＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．
10．(12分)(2010•福建改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋π6)＋a(ω>0)与g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
11．(14分)(2010•安徽合肥高三二模)已知向量a＝(sin x，23sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定义f(x)＝a•b－3.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．
答案 自主梳理
1．R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z} [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z) [2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) (kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)
2．2kπ＋π2(k∈Z) 2kπ－π2(k∈Z) 3.2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z) 4.(kπ，0)(k∈Z) kπ＋π2，0(k∈Z) kπ2，0(k∈Z) 5.x＝kπ＋π2(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
自我检测
1．C 2.D 3.D 4.D 5.A
课堂活动区
例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．
解 要使函数有意义，
则2＋log12x≥0，x>0，tan x≥0，x≠kπ＋π2 k∈Z，
得0
x|0
解析 由题意得
1－2cos x≥02sin x－1>0⇒cos x≤12sin x>12，
解得π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Zπ6＋2kπ
例2 解题导引 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
解 y＝2sinπ4－x可看作是由y＝2sin u与u＝π4－x复合而成的．
又∵u＝π4－x为减函数，
∴由2kπ－π2≤u≤2kπ＋π2(k∈Z)，
即2kπ－π2≤π4－x≤2kπ＋π2 (k∈Z)，
得－2kπ－π4≤x≤－2kπ＋3π4 (k∈Z)，
即－2kπ－π4，－2kπ＋3π4(k∈Z)为
y＝2sinπ4－x的递减区间．
由2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2 (k∈Z)，
即2kπ＋π2≤π4－x≤2kπ＋3π2 (k∈Z)，
得－2kπ－5π4≤x≤－2kπ－π4 (k∈Z)，
即－2kπ－5π4，－2kπ－π4(k∈Z)为
y＝2sinπ4－x的递增区间．
综上可知，y＝2sinπ4－x的递增区间为
－2kπ－5π4，－2kπ－π4(k∈Z)；
递减区间为－2kπ－π4，－2kπ＋3π4 (k∈Z)．
变式迁移2 解 (1)由y＝sinπ3－2x，
得y＝－sin2x－π3，
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，
得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x≤π.
∴函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－712π，－π12，512π，1112π，π.
(2)函数y＝3tanπ6－x4的周期
T＝π－14＝4π.
由y＝3tanπ6－x4
得y＝－3tanx4－π6，
由－π2＋kπ
例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．
解 ∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，
∴－32≤sin(2x－π3)≤1，
若a>0，则2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b＝－23＋123；
若a<0，则2a＋b＝－5－3a＋b＝1，
解得a＝－12＋63b＝19－123.
综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123
或a＝－12＋63，b＝19－123.
变式迁移3 解 ∵x∈R，
∴cos x∈[－1,1]，
若a>0，则a＋b＝1－a＋b＝－3，解得a＝2b＝－1；
若a<0，则a＋b＝－3－a＋b＝1，解得a＝－2b＝－1.
所以g(x)＝－sin(2x＋π3)或g(x)＝－sin(－2x＋π3)，周期为π.
课后练习区
1．A [画出函数y＝sin x的草图(图略)，分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]
2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，
故f(x)＝3sin ωx－cos ωx
＝2sinx－π6的单调增区间满足：
2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2 (k∈Z)
解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3.]
3．A
4．D
5．D [因为y＝sin x－cos x＝2sin(x－π4)，－π2≤x－π4≤π2，即－π4≤x≤3π4，满足题意，所以函数f(x)可以是－cos x．]
6.π2
解析 依题意得T4＝π8，所以最小正周期T＝π2.
7．4π
解析 由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，而当x4＝2kπ－π2，即x＝8kπ－2π (k∈Z)时，f(x)取最小值；而x4＝2kπ＋π2，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)时，f(x)取最大值，
∴|x1－x2|的最小值为4π.
8.23
解析 线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x＝5tan x，x∈0，π2，解得sin x＝23.所以线段P1P2的长为23.
9．解 由题意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋π2，
解得x≠kπ2＋π4 (k∈Z)．
∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．
……………………………………………………………………………………………(3分)
又f(x)＝2cos4x－3cos2x＋1cos 2x
＝2cos2x－1cos2x－12cos2x－1
＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(6分)
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)
显然－sin2x∈[－1,0]，
又∵x≠kπ2＋π4，k∈Z，
∴－sin2x≠－12.
∴原函数的值域为
y|－1≤y<－12或－12
∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a(3分)
∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)
(2)当2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，
即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递减，
故函数f(x)的单调递减区间为
[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．…………………………………………………………………(8分)
(3)当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)
∴2sin(2•π2＋π6)＋a＝－2，
∴a＝－1.………………………………………………………………………………(12分)
11．解 f(x)＝2sin xcos x＋23sin2x－3
＝sin 2x＋23•1－cos 2x2－3
＝sin 2x－3cos 2x＝2sin2x－π3.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，
解得单调递减区间是kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.
……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)f(x＋θ)＝2sin2x＋2θ－π3.
根据三角函数图象性质可知，
y＝f(x＋θ) 0<θ<π2在x＝0处取最值，
∴sin2θ－π3＝±1，
∴2θ－π3＝kπ＋π2，θ＝kπ2＋5π12，k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)