§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案

详细内容

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案
班级：__________ 小组：___________姓名：_____________
学习目标:
一、【目标】
1.借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念。
2.会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性。
3.知道诱导公式的推导过程；能概括诱导公式的特点。
4.能灵活运用诱导公式熟练正确地进行求值、化简及变形。
5.提高对三角函数中单位圆思想的认识，培养借助图形直观进行观察、感知探究、发现及逻辑推理的能力，渗透掌握分类讨论及数形结合的思想方
二、【学习重点、难点 】
重点: 正弦函数、余弦函数的单位圆定义法;用联系的观点，发现并证明诱导公式。
难点: 正弦函数、余弦函数的定义理解；如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边上点的对称性，发现问题，提出研究方法。
教学计划：
第一课时：

一、复习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，sinB＝_____，cosB=_____，比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB的表达式，你有什么发现？
2.周期函数：
3.同角三角函数关系：
二．预习
1.在直角坐标中，以_____为圆心，以_______为半径的圆叫做单位圆。
2.正弦函数、余弦函数定义：一般地，在直角坐标系中，对任意角α（弧度制），使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v，叫作角α的正弦函数，
记作v＝ 。点P的纵坐标u，叫作角α的余弦函数，记作u＝ .
通常,我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正、余弦函数分别表示为y＝sinx，y＝cosx.
定义域：_________________，
值域：___________________.
3、在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么:
⑴ 正弦 = __________，
⑵ 余弦 = __________ 。
4.当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：
象限
三角函数第一象限第二象限第三象限 第四象限

5.周期性：终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为_____________。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的____________。
（余弦函数y＝cosx同上）.
三、合作探究
例1：将各特殊角的三角函数值填入下表。
x0


y=sinx
y=cosx

例2．已知角α的终边经过点P（2，－4），求角α的正弦函数值、余弦函数值。

四、自我训练
1.已知角α的终边经过点P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值.

2.确定下列各三角函值的符号：
⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4);
⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;

3 . 已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限.

第二课时：

一，问题的提出
求下列三角函数的值，公式一都能解决吗？是否有必要研究新的公式？
sin1110°=

二，自主学习
（一）知识梳理：
则

公式一的作用：


4.（1） 的终边与 角终边关于__________________对称
（2） 的终边与 角终边关于__________________对称
（3） 的终边与 角终边关于__________________ 对称
（4） 的终边与 角终边关于__________________对称
5. 如图,设α为一任意角，α的终边与单位圆的交点为P (x,y), 角 的终边与单位圆的交点为P0, 点P0与点P关于_____________成中心对称,
因此点P0的坐标是__________________于是,我们有:

公式二：
_________________
_________________

类比公式二的得来，得：
公式三：
___________
______________

类比公式二,三的得来，得：
公式四：
__________________
______________________
对公式一，二，三，四用语言可概括为：


上述公式的作用：

将 分别加上 ，三角函数值 （会否）改变？是否可以得出，形如 的角，求三角函数值的一般方法或口诀？

（二）合作探究
1、利用公式求下列三角函数值
（1）cos210º； (2)
（3） ； （4） ．

拓展1：将下列三角函数转化为锐角三角函数
（1） =__________ （2） =____________
(3) =____________ (4) =___________

通过练习，你认为：（１）公式一至公式四如何理解记忆？
（２）你能够自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
2、化简

3、化简：（1）sin( +180º)cos(― )sin(― ―180º)
（2）sin (― )cos(2π+ )tan(― ―π)

（三）学习小结 ：
1. 诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
2. 诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.