等差数列学案
详细内容
§2 等 差 数 列?
第1课时 等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.
4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.
5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点：等差数列的概念.
难点：等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
1.等差数列的定义
（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.
③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).
（2）如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数(或an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.
2.等差数列的通项公式
（1）通项公式的推导常用方法：
方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.
（2）通项公式的变形公式
在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d= (n≠m).
（3）通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.
3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示.
当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.
当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.
4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做数a与b的等差中项.
注意:(1)等差中项A= a,A,b成等差数列；
(2)若a,b,c成等差数列，那么b= ，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；
(3)用递推关系an+1= (an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.
知能自主梳理
1.等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做 .
3.等差数列的判断方法
（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时， .
（2）如果an+1= 对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是 .
（3）若a,A,b成等差数列，则A＝ .
4.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为，它的推广通项公式为.
5.等差数列的单调性
当d>0时，{an}是数列；当d=0时，{an}是数列；当d<0时，{an｝是数列.
［答案］ 1.差 同一个常数
2.a与b的等差中项
3.（1）an-an-1=d(常数) (2)等差数列 （3）
4.an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
5.递增 常 递减
思路方法技巧
命题方向 等差数列的定义及应用
［例1］ 判断下列数列是否为等差数列.
（1）an=3n+2；
（2）an=n2+n.
［分析］ 利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.
［解析］ (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.
［说明］ 利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.
1 n=1
变式应用1 试判断数列｛｝，= 是否为等差数列.
? 2n-5 n≥2
［解析］ ∵c2-c1=-1-1=-2,
+1-=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴+1-(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.
∴{}不是等差数列.
命题方向 等差数列通项公式的应用
［例2］ 已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.
［分析］ 利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.
［解析］ 解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得
a1+4d=11 a1=19
解得 .
a1+7d=5 d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d= = =-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
［说明］ (1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.
(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d= ，应注意掌握对它的灵活应用.
变式应用2 已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.
a10=a1+9d=29
［解析］ 设等差数列的公差为d,则有 ，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3＝3n-1.
令an＝3n-1=91,得n= N+.
∴91不是此数列中的项.
命题方向 等差中项的应用
［例3］ 已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？
［分析］ 已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
［解析］ 因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.
［说明］ 本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3 已知数列｛xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.
［分析］ 由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
［解析］ 由x1=3,得2p+q=3, ①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3＋25p+5q=25p+8q, ②
由①②得q=1,∴p=1.
［说明］ 若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.
探索延拓创新
命题方向 等差数列的实际应用
［例4］ 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
［解析］ 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n≥2,n∈N＋),每年获利构成等差数列｛an｝,且首项a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d
=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝-20n＋220<0,解得n>11,
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
［说明］ 关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.
变式应用4 2012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？
［分析］ 分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.
［解析］ 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，
∴an=a1+(n-1)d=150+(n-1)×20=20n+130,
则a10=330,即第10排可坐330人.
名师辨误做答
［例5］ 已知数列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
（1）判断数列｛an｝是否为等差数列？说明理由；
（2）求｛an｝的通项公式.
［误解］ （1）∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2(为常数)，
∴｛an｝是等差数列.
（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.
［辨析］ 忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列｛an｝从第2项起，以后各项组成等差数列，而｛an｝不是等差数列，an=f(n)应该表示为“分段函数”型.
［正解］ （1）当n≥3时，an=an-1+2,
即an-an-1=2.
当n=2时，a2-a1=0不满足上式.
∴｛an｝不是等差数列.
（2）∵a2=1,an=an-1+2(n≥3)，
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
当n≥3时，an-an-1=2.
∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不满足此式.
1 (n=1)
∴an= .
2n-3 (n≥2)
课堂巩固训练
一、选择题
1.（2011•重庆文，1）在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
［答案］ D?
［解析］ 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.
由a2=2,a3=4知d= =2.?
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为（ ）
A.2 B.3 C.－2 D.－3?
［答案］ C?
［解析］ ∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
∴公差为－2，故选C.
3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4?
［答案］ C
［解析］ 设方程x2-6x+1=0的两根为 x1、x2,则x1+x2=6.
∴其等差中项为 =3.
二、填空题
4.在等差数列{an}中，a2=3,a4=a2+8,则a6=.?
［答案］ 19?
［解析］ ∵a2=3,a4=a2+8,?
a1+d=3 a1=-1
∴ , 解得 .
a1+3d=a1+d+8 d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有 个.［答案］ 1或2?
［解析］ ∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c,?
又Δ=4b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c)2≥0.
三、解答题
6.在等差数列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.?
a1+4d=10 a1=－2
［解析］ 由题意得 , 解得 .
a1+11d=31 d=3
∴an=-2+(n-1)×3＝3n-5.
课后强化作业
一、选择题
1.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数为（ ）
A.92 B.47 C.46 D.45?
［答案］ C
［解析］ ∵a1=1，d=-1-1=-2,
∴an=1+(n-1)•(-2)=-2n+3,
由-89=-2n+3，得n=46.
2.如果数列{an}是等差数列，则（ ）
A.a1+a8
［答案］ B?
［解析］ 设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是它的第（ ）?
A.12项 B.13项 C.14项 D.15项
［答案］ C?
［解析］ 由3(2n-1)=81,解得n=14.
4.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（ ）
A.-9 B.-8 C.-7 D.-4
［答案］ B
a1+d=-5
［解析］ 由题意，得 ，
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.数列{an}中，a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是（ ）
A.49 B.50 C.51 D.52
［答案］ D
［解析］ 由2an+1=2an+1得an+1-an= ，
∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d= ,
∴an=2+ (n-1)= ,?
∴a101= =52.
6.已知a= ,b= ,则a,b的等差中项为（ ）
A. B. C. D.
［答案］ A
［解析］ = = = .
7.设数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（ ）?
A.1 B.2 C.4 D.3
［答案］ B
a1+a2+a3=12 a1+a3=8
［解析］ 由题设 ，,∴a2=4,∴
a1a2a3=48 a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根，
又a3＞a1,∴a1=2.
8.{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列，如果an=2012,则序号n等于（ ）
A.1003 B.1004 C.1005 D.1006
［答案］ C
［解析］ ∵a1=4,d=2,
∴an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,?
∴2n+2=2012,?
∴n=1005.
二、填空题
9.三个数lg( - ),x,lg( + )成等差数列，则x=.
［答案］ 0
［解析］ 由等差中项的运算式得
x= = ＝0.
10.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=,d=.
［答案］ -2,3
a5=a1+4d=10 a1+4d=10 a1=-2
［解析］ 由题意得 , 即 ，∴ .
a1+a1+d+a1+2d=3 a1+d=1 d=3
11.等差数列{an}的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它的第5项为.
［答案］ 4
［解析］ ∵2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
12.在数列{an}中，a1=3，且对于任意大于1的正整数n，点（ , ）在直线x-y- =0上，则an=.?
［答案］ 3n2
［解析］ 由题意得 - = ,?
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ = n,∴an=3n2.
三、解答题
13.在等差数列{an}中：
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.?
a1+(5-1)d=-1 a1=-5
［解析］ (1)由题意知 ，解得 .
a1+(8-1)d=2 d=1
a1+a1+(6-1)d=12 a1=1
（2）由题意知 ，解得 ，
a1+(4-1)d=7， d=2
∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
14.已知函数f(x)= ，数列{xn}的通项由xn=f(xn-1) (n≥2,且n∈N+)确定.
(1)求证：｛ ｝是等差数列；
(2)当x1= 时，求x100.
［解析］ (1)xn=f(xn-1)= (n≥2,n∈N+)，
所以 = = + ，
- = (n≥2,n∈N+).
所以｛ ｝是等差数列；
(2)由(1)知{ }的公差为 .
又因为x1= ,即 ＝2.
所以 =2+(n-1)× ，
=2+(100-1)× =35.
所以x100= .
15.已知等差数列｛an｝中，a5+a6+a7=15,a5•a6•a7=45,求数列｛an｝的通项公式.
［分析］ 显然a6是a5和a7的等差中项，可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求an.［解析］ 设a5=a6-d,a7=a6+d,?
则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10 a5=1 a5＝9
由已知可得 ，解得 或
a5•a7=9 a7=9 a7=1
当a5=1时，d=4,?
从而a1=-15,?an=-15+(n-1)×4=4n-19.?
当a5=9时，d=-4,从而a1=25.
∴an=25+(n-1)×（-4）＝－4n+29.
所以数列｛an｝的通项公式为an=4n－19或an=-4n+29.
16.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.?
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
［解析］ (1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为
an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N+).
（2）假设an=2008，由2008=1892+4n,得n=29.?
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会.
第2课时 等差数列的性质
知能目标解读
1.掌握等差数列的项与序号的性质.
2.理解等差数列的项的对称性.
3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
重点难点点拨
重点：等差数列的性质.
难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.
学习方法指导
1.等差数列的公差与斜率的关系
（1）一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，斜率k= (x1≠x2).
当k=0时，对于常数函数f(x)=b,上式仍然成立.
（2）等差数列｛an｝的公差本质上是相应直线的斜率.
特别地，如果已知等差数列｛an｝的任意两项an,am,由an=am+(n-m)d,类比直线方程的斜率公式得d= (m≠n).
2.等差数列的“子数列”的性质
若数列｛an｝是公差为d的等差数列，则
（1）｛an｝去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
（2）奇数项数列｛a2n-1｝是公差为2d的等差数列；偶数项数列｛a2n｝是公差为2d的等差数列；
（3）若｛kn｝是等差数列，则｛akn｝也是等差数列.
知能自主梳理
1.等差数列的项与序号的性质
（1）两项关系
通项公式的推广：an=am+(m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质：
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则=ap+aq.
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，则am+an=.
2.等差数列的项的对称性
有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a (其中n为奇数且n≥3).
3.等差数列的性质
（1）若｛an｝是公差为d的等差数列，则下列数列：
①｛c+an｝(c为任一常数)是公差为 的等差数列；
②｛c•an｝(c为任一常数)是公差为 的等差数列；
③｛ank｝(k∈N+)是公差为 的等差数列.
(2)若｛an｝、｛bn｝分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列｛pan+qbn｝(p、q是常数)是公差为 的等差数列.
［答案］ 1.(n-m)d am+an 2ap
2.an-1 an-k+1
3.d cd kd pd1+qd2
思路方法技巧
命题方向 运用等差数列性质an=am+(n-m)d(m、n∈N+)解题
［例1］ 若数列{an}为等差数列，ap=q,aq=p(p≠q)，则ap+q为（ ）
A.p+q B.0C.-(p+q) D.
［分析］ 本题可用通项公式求解.
利用关系式an=am+(n-m)d求解.
利用一次函数图像求解.
［答案］ B
［解析］ 解法一：∵ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
a1+(p-1)d=q ①
∴?
a1+(q-1)d=p ②
①-②，得（p-q）d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①，有a1+(p-1)(-1)=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.∴应选B.
解法二：∵ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+［(p+q-p)］d=q+q(-1)=0.∴应选B.
解法三：不妨设p
由△ABE∽△BCF，
得 = .
∴ = .
∴1= .
得m=0，即ap+q=0.∴应选B.
［说明］ 本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式an=am+(n-m)d.第三种方法使用的是函数的思想，通过点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.
变式应用1 已知｛an｝为等差数列，a15=8,a60=20,求a75.
［解析］ 解法一：∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,
a1+14d=8?
∴ ，
a1+59d=20
a1=
解得
d=
∴a75=a1+74d= +74× ＝24.
解法二：∵a60=a15+45d,
∴45d=a60-a15=20-8=12,
∴d= .
∴a75=a60+15d=20+15× ＝24.
命题方向 运用等差数列性质am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q)解题
［例2］ 在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.
［分析］ 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，注意到a2+a8=2a5=a3+a7，问题就好解了.
［解析］ ∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21,
又∵a2+a8=a3+a7=2a5，
∴a3+a7=2a5=6，即a5=3. ①
∴a3•a7=-7， ②
由①、②解得a3=-1,a7=7,或a3=7,a7=-1,
∴a3=-1，d=2或a3=7,d=-2.
由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.
［说明］ 本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简单，达到了事半功倍的效果.
变式应用2 在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
［答案］ C
［解析］ ∵a3+a5+a7+a9+a11=100,
又∵a3+a11=a5+a9=2a7,
∴5a7=100,∴a7=20,
∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)
=3a7+6d-a7-6d
=2a7=40.
探索延拓创新
命题方向 等差数列性质的应用
［例3］ 已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.
［分析］ 此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实,因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样求解更为方便，但必须注意这时的公差应为2d.
［解析］ 解法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8,
∴a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,
∴d=1或d=-1.
又知四个数成递增等差数列，
∴d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2，0，2，4.
解法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)，
依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把a=1- d代入a(a+3d)=-8,
得（1- d）(1+ d)=-8,即1- d2=-8,
化简得d2=4,∴d=2或-2.
又知四个数成递增等差数列，∴d>0,∴d=2,a=-2.
故所求的四个数为-2，0，2，4.
［说明］ 此题设法很重要，一般地有如下规律：（1）若所给等差数列为2n(n∈N+)项，则可设为： a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此数列的公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n-1(n∈N+)项,则这个数列可设为：a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,这个数列的公差为d.
变式应用3 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，求这5个数.
［解析］ 设这五个数依次为a-2d,a-d,a,a+d, a+2d,由题意，得
5a=5
(a-2d) 2+(a-d)2+a2+(a+d) 2+(a+2d) 2 =
a=1
解得
? d2=
a=1
∴
? d=±
故这五个数为- ， ，1， ， 或 ， ，1， ，- .
名师辨误做答
［例4］ 在等差数列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=.
［误解］ 39
∵a2+a3=13,∴a5=a2+a3=13,
∴a4+a5+a6=3a5=39.
［辨析］ 误解过程中，a2+a3=a5是错误的，在运用等数列的性质“若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则am+an=ap+aq”的过程中，一定要明确条件“m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)”的内在含义.
［正解］ 42
设公差为d,∵a2+a3=13,
∴2a1+3d=13,又a1=2,∴d=3.
∴a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
课堂巩固训练
一、选择题
1.已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7?
［答案］ C?
［解析］ ∵{an}为等差数列，∴a2+a8=2a5,
∴2a5=12,∴a5=6.
2.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=（ ）
A.14 B.21 C.28 D.35
［答案］ C?
［解析］ ∵a3+a4+a5=12，∴3a4=12,
∴a4=4.
∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.
3.等差数列｛an｝中，a4+a5=15,a7=12,则a2=（ ）?
A.3 B.-3 C. D.-
［答案］ A
［解析］ ∵a4+a5=15,
∴a2+a7=a4+a5=15,
又a7=12.∴a2=3.
二、填空题
4.在等差数列{an}中，a3=7,a5=a2+6，则a6=.?
［答案］ 13?
［解析］ 设公差为d,∵a5=a2+6,∴a5-a2=3d=6,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
5.等差数列｛an｝中，若a2+a4022=4,则a2012＝.?
［答案］ 2?
［解析］ ∵{an}为等差数列，
∴2a2012=a2+a4022,
∴a2012= = =2.
课后强化作业
一、选择题
1.已知等差数列{an}中，a3=5,a5=9,则a7=（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14?
［答案］ C?
［解析］ 设公差为d,∵a5-a3=2d,∴2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.
2.在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（ ）
A.45 B.75 C.180 D.300
［答案］ C
［解析］ 由a3+a7=a4+a6=2a5，得
a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.
∴a2+a8=2a5=180.
3.下列命题中正确的是（ ）
A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列，则a+2，b+2,c+2成等差数列?
D.若a,b,c成等差数列，则2a，2b,2c成等差数列?
［答案］ C?
［解析］ ∵a,b,c成等差数列，?
∴2b=a+c,?
∴2b+4=a+c+4,?
即2（b+2）=(a+2)+(c+2),
∴a+2,b+2,c+2成等差数列.
4.已知等差数列｛an｝中，a7+a9＝16,a4=1，则a12等于（ ）
A.15 B.30 C.31 D.64
［答案］ A
［解析］ ∵a7+a9=2a8=16,故a8=8.?
在等差数列{an}中，a4,a8,a12成等差数列，
所以a12=2a8-a4=16-1=15.
5.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（ ）?
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0?
C.a3+a100≤0 D.a51=0
［答案］ D?
［解析］ 由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,
∴a51=0.
6.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（ ）
A.30 B.27 C.24 D.21
［答案］ B?
［解析］ 解法一：设b1=a1+a4+a7=39，b2=a2+a5+a8=33，b3=a3+a6+a9，∵{an}成等差数列，∴b1,b2,b3成等差数列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.
解法二：设等差数列{an}的公差为d,则
a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,∴33=39+3d,?
∴3d=-6,∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=33-6=27.
7.设数列{an},{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于（ ）
A.0 B.37 C.100 D.-37?
［答案］ C?
［解析］ ∵a1+b1=100,a2+b2=100,
∴(a2-a1)+(b2-b1)=0,
设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则d1+d2=0.
∴a37+b37=a1+36d1+b1+36d2
=a1+b1+36(d1+d2)=a1+b1=100.
8.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9- a11的值为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17?
［答案］ C?
［解析］ 由题意，得5a8=120,∴a8=24,
∴a9- a11=(a8+d)- (a8+3d)= a8=16.
二、填空题
9.在数列{an}中，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，若{an}是等差数列，则a5+a8= .
［答案］ 3?
［解析］ 由题意，得a3+a10=3,
∴a5+a8=a3+a10=3.
10.等差数列｛an｝中，a2+a3+a10+a11=36,则a6+a7=.
［答案］ 18
［解析］ ∵{an}为等差数列，
∴a2+a11=a3+a10=a6+a7,
∴a2+a3+a10+a11=2(a6+a7)=36,
∴a6+a7=18.
11.(2012•洛阳模拟)已知｛an｝为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20= .
［答案］ 1
［解析］ ∵a1+a3+a5=105,即3a3=105
∴a3=35,同理a4=33,?
∴d=a4-a3=-2
∴a20=a4+(20-4)d=1.
12.等差数列{an}中，公差为 ，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100= .
［答案］ 85
［解析］ 由等差数列的定义知
a2+a4+a6+…+a100??
=a1+a3+a5+…+a99+50d
=60+25=85.
三、解答题
13.已知数列{an}中，a2+a6+a10=1,求a3+a9.?
［解析］ ∵a2+a10=2a6,?
∴3a6=1,a6= .?
∴a3+a9=2a6= .
14.已知等差数列｛an｝的公差是正数，且a3a7=-12,a4+a6=-4,求｛an｝的通项公式.
［解析］ ∵a3+a7=a4+a6=-4,又a3a7=-12
∴a3、a7是方程x2+4x-12=0的两根
而d>0,∴a3=-6,a7=2.
a1+2d=-6
∴
a1+6d=2
故a1=-10,d=2,∴an=2n-12.
15.已知数列｛an｝,an=2n-1,bn=a2n-1.
(1)求｛bn｝的通项公式；
（2）数列｛bn｝是否为等差数列？说明理由.?
［解析］ ∵an=2n-1,bn=a2n-1,
∴b1=a1=1,b2=a3=5,b3＝a5=9，
bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2)由bn=4n-3知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.?
∵bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,?
∴{bn}是首项b1=1,公差为4的等差数列.
16.有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销；买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.
［解析］ 设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}.?
an=780+(n-1)(-20)=800-20n,?
解不等式an≥440即800-20n≥440，得n≥18.?
当购买台数小于18台时，每台售价为800-20n，在台数大于等于18台时，每台售价为440元.
到乙商场购买，每台售价为800×75%=600元.?
作差：（800-20n）n-600n=20n（10-n），?
当n<10时，600n<(800-20n)n，?
当n=10时，600n=(800-20n)n，?
当10
答：当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
第3课时 等差数列的前n项和
知能目标解读
1.理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题.
2.体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系，能用二次函数的相关知识解决有关的数列问题.
3.熟练掌握等差数列的五个基本量a1,d,n,an,Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.
4.进一步熟悉由数列的前n项和Sn求通项的方法.
重点难点点拨
重点：探索等差数列前n项和公式的推导方法，掌握前n项和公式，会用公式解决一些实际问题.体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.
难点：等差数列前n项和公式的推导和应用公式解题时公式的选取.
学习方法指导
1.等差数列前n项和公式中涉及五个量a1,d,n,an,Sn,已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个（简称“知三求二”），它是方程思想在数列中的体现.
2.等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.注意公式Sn= ,Sn=na1+ d，Sn=nan- d之间可以相互转化.
3.Sn是n的二次函数，{an}不一定是等差数列.如果Sn=an2+bn+c，则在c=0时{an}是等差数列，在c≠0时{an}不是等差数列；反过来{an}是等差数列，Sn的表达式可以写成Sn=an2+bn的形式，但当{an}是不为零的常数列时，Sn=na1是n的一次函数.?
知能自主梳理
1.等差数列的前n项和公式
若数列｛an｝是等差数列，首项为a1,公差为d,则前n项和Sn==.
2.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列｛an｝的前k项和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成公差为的等差数列.
（2）等差数列｛an｝的前n项和为Sn,则｛ ｝也是.
［答案］ 1. na1+ d
2.(1)k2d (2)等差数列
思路方法技巧
命题方向 有关等差数列的基本量的运算
［例1］ 已知等差数列{an}中，
（1）a1= ,d=- ,Sn=-15,求n和an;
（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d.
［分析］ a1,d,n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个基本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.
［解析］ (1)∵Sn=n• + •（- ）=-15，
整理，得n2-7n-60=0.
解之得n=12或n=-5(舍去).
∴a12= + (12-1)×（- ）=-4.
(2)由Sn= = =-1022,
解之得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解之得d=-171.
［说明］ 等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.
变式应用1 在等差数列｛an｝中，
（1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
（2）已知a3+a15=40,求S17.
［解析］ （1）∵a6=10,S5=5,
a1+5d=10 a1=-5
∴ ，解得 .
? 5a1+10d=5 d=3
∴a8=a6+2d=16,S8= =44.
(2)∵a1+a17=a3+a15,
∴S17= = = ＝340.
命题方向 等差数列前n项和的性质
［例2］ 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.
［分析］ 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d,即可求出S110,或利用等差数列前n项和的性质求解.
［解析］ 方法一：设等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为Sn,则
Sn=na1+ d.
10a1+ d=100 ①
由已知得
? 100a1+ d=10 ②
①×10－②，整理得d=- ,
代入①，得a1= .
∴S110=110a1+ d
=110× + ×（- ）
=110（ ）＝－110.
故此数列的前110项之和为－110．
方法二：数列S10,S20-S10,S30-S20,…，S100-S90,S110-S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+ ×D=S100=10 D=-22，
∴S110-S100=S10+（11-1）D=100+10×（-22）=-120.
∴S110=-120+S100=-110.
方法三：设Sn=an2+bn.
∵S10=100,S100=10,
102a+10b=100 a=-
∴ ， .
1002a+100b=10 b=
∴Sn=- n2+ n.
∴S110=- ×1102+ ×110=-110.
方法四：∵S100-S10=a11+a12+…+a100
= = .
又S100-S10=10-100=-90,
∴a1+a110=-2.
∴S110= =-110.
方法五：在等差数列中，因为点（n, ）共线，
所以（10， ）,（100， ）,（110， ）三点共线，
故 ＝
即 ＝
∴ =10+ ×( -10)=-1
∴S110=-110.
［说明］ 比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前n项和的性质解题，可以大大减少运算量.
变式应用2 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sm=70，S2m=110,则S3m＝ .
［答案］ 120
［解析］ ∵{an}为等差数列，
∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,
∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,
即2（110-70）＝70+S3m-110，
∴S3m=120.
命题方向 等差数列前n项和的最值问题
［例3］ 已知数列{an｝是等差数列，a1=50,d=-0.6.
(1)从第几项开始有an<0;
(2)求此数列的前n项和的最大值.
［分析］ 对于（1）实质上是解一个不等式，但要注意n∈N＋；对于（2）实际上是研究Sn随n的变化规律，由于等差数列中Sn是关于n的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由an的变化推测Sn的变化.
［解析］ （1）因为a1=50，d=-0.6,
所以an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.
令-0.6n+50.6≤0，则n≥ ≈84.3.
由于n∈N＋，故当n≥85时，an<0，即从第85项起以后各项均小于0.
（2）解法一：因为d=-0.6<0,a1=50>0,
由（1）知a84>0,a85<0,所以S1
所以当n=84时，Sn有最大值，即S84=50×84+ ×(-0.6)=2108.4.
解法二：Sn=50n+ ×(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3（n- ）2+ .当n取接近于 的自然数，即n=84时，Sn达到最大值S84=2108.4.
［说明］ 求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：
方法一：根据项的正负来定.
若a1>0,d<0，则数列的所有正数项之和最大；
若a1<0,d>0，则数列的所有负数项之和最小.
方法二：Sn=na1+ d= n2+（a1- ）n
= (n+ )2-
= [n-（ - ）]2- （ - ）2.
由二次函数的最大、最小值知识及n∈N+知，当n取最接近（ - ）的正整数时，Sn取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近（ - ）的正整数有时有1个，有时有2个.
变式应用3 在等差数列{an｝中，a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
［解析］ 解法一：利用前n项和公式和二次函数性质，由S17=S9得
25×17+ (17-1)d=25×9+ (9-1)d,解得d=-2,
∴Sn=25n+ (n-1)(-2)=-(n-13) 2+169,
∴由二次函数性质，当n=13时，Sn有最大值169.
解法二：同解法一先求出d=-2.因为a1=25>0,
an=25-2(n-1)≥0 n≤13
由 ，得 ，
an+1=25-2n≤0 n≥12
所以当n=13时，Sn有最大值169.
解法三：同解法一先求出d=-2.由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15
=a13+a14,故a13+a14=0.因为d=-2<0,a1>0,所以a13>0,a14<0,故n=13时，Sn有最大值169.
解法四：同解法一先求出d=-2.由d=-2，得Sn的图像如图所示（图像上一些孤立点），由S17=S9知图像对称轴为n= =13,所以当n=13时，Sn取得最大值169.
探索延拓创新
命题方向 等差数列前n项和在实际问题中的应用
［例4］ 有30根水泥电线杆，要运往1000 m远的地方开始安装，在1000 m处放一根，以后每隔50 m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共多少？
［分析］ 这是一道等差数列求和的应用题.对于应用题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型，然后解此数学问题，最后再回到应用问题作出结论.
［解析］ 解法1：如图所示示意图，假定30根水泥电线杆存放M处.
a1=|MA|=1000(m),a2=|MB|=1050(m),
a3=|MC|=1100(m),a6=a3+50×3＝1250(m),
…
a30=a3+150×9（m）.
由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a3,a6,a9,…,a30这些地方，这样组成公差为150 m，首项为1100的等差数列，令汽车行程为S，则有
S＝2(a3+a6+…+a30)
=2(a3+a3+150×1＋…＋a3+150×9)
＝2（10a3+150× ×9）＝2（11000＋6750）
＝35.5（km）.
答：这辆汽车行程共有35.5 km.
解法2（略解）：根据题设和汽车需运送十次，可得一等差数列｛an｝,其a1=100,d=150,n=10,则S10=10a1+ d=7750(m).
所以总共行程为7750×2＋1000×20＝35.5（km）.
解法3（略解）：根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列，其中
a1=(1000+50×2)×2＝2200，a2=(1000+50×5)×2＝2500，
…
d=150×2＝300，项数共有10项，
∴Sn=10a1+ d
=10×2200＋5×9×300＝35.5（km）.
［说明］ 有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究，建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，一般求解步骤如下：
(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征；
(2)是求数列的通项还是求数列的前n项和;
(3)列出等式（或方程）求解;
(4)得到问题的答案.
变式应用4 为了参加5000 m长跑比赛,李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共要跑多少路程？
［解析］ 将李强每一天跑的路程记为数列｛an｝,
则a1=5000m,公差d=400m.
∴S10＝10a1+ ×d
=10×5000＋45×400＝68000（m）
故李强10天一共要跑的路程为68000m.
名师辨误做答
［例5］ 已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为Sn、Tn，且 ＝ (n∈N+),求 .
［误解］ 由 = ,
设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0.
则a11=S11-S10=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k,
b11=T11-T10=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k.
∴ = = .
［辨析］ 错误的原因是“设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0”.这种设法虽然可以使 = 成立，但是相对于变量n来说，k是常数，故Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k是n的一次函数，与公差不为零的等差数列的前n项和为n的二次函数不符合.
［正解］ 由于等差数列｛an｝的前n项和Sn＝an2+bn=a•n(n+ ),
设Sn=(7n+1)•kn,Tn=(4n+27)•kn,
∴a11=S11-S10=(7×11+1)•11k-(7×10+1)•10k＝148k，
b11=T11-T10=(4×11+27)•11k-(4×10+27)•10k=111k.
∴ = = .
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等差数列｛an｝中，已知a2=2,a8=10,则前9项和S9＝（ ）?
A.45 B.52 C.108 D.54?
［答案］ D?
［解析］ ∵{an}是等差数列，
∴a2+a8=a1+a9=2+10=12,?
∴S9= = ＝54.
2.数列｛an｝是等差数列，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前20项和等于（ ）
A.160 B.180 C.200 D.220?
［答案］ B?
［解析］ ∵{an}是等差数列，?
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18,
又a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54.?
∴3(a1+a20)=54,?
∴a1+a20=18.?
∴S20= =180.
3.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1= ，S4=20，则S6=（ ）
A.16 B.24 C.36 D.48
［答案］ D
［解析］ 设等差数列{an}的公差为d,?
∵a1= ,S4=4× + d=2+6d=20,?
∴d=3,故S6=6× + ×3=48,故选D.
二、填空题
4.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=.?
［答案］ 10?
［解析］ 设等差数列{an}的公差为d,?
a1+2d+a1+4d=14
由题意，得 ，解得d=2.
a1=1
又Sn=na1+ ×d,
∴100=n+ ×2
解得n=10.
5.等差数列｛an｝中，S11=2013，则a6=.?
［答案］ 183?
［解析］ ∴S11= = =11a6=2013,
∴a6=183.
三、解答题
6.在等差数列｛an｝中：已知S7=42,Sn=510，an-3=45,求n.
［解析］ S7= =7a4=42,∴a4=6.
∴Sn= = = =510.?
∴n=20.
课后强化作业
一、选择题
1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10=（ ）?
A.138 B.135 C.95 D.23?
［答案］ C?
［解析］ 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.?
a2+a4=4 ①
则
a3+a5=10 ②
②-①得2d=6,∴d=3.?
a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4×3=4,
∴a1=-4,?
S10=10×(-4)+ ×3=-40+135=95.
故选C.
2.在等差数列{an}中，a2+4a7+a12=100,则2a3+a15等于（ ）
A.20 B.100 C.25 D.50?
［答案］ D?
［解析］ ∵a2+a12=2a7,?
∴6a7=100,∴3a7=50.?
又2a3+a15=2(a7-4d)+a7+8d
=3a7=50,故选D.
3.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为
（ ）?
A.24 B.26 C.25 D.28
［答案］ B
［解析］ 设该等差数列为｛an｝,?
由题意，得a1+a2+a3+a4=21,
an+an-1+an-2+an-3=67,
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,?
∴4(a1+an)=21+67=88,?
∴a1+an=22.?
∴Sn= =11n=286,
∴n=26.
4.(2011•江西文，5)设{an}为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24?
［答案］ B
［解析］ 本题主要考查等差数列的基本性质以及等差数列通项公式.?
S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×（-2）=0，所以a1=20.
5.已知等差数列{an}中，a4=9,a7=3,则数列{an}前n项和的最大值为（ ）?
A.8 B.24 C.45 D.64?
［答案］ D?
［解析］ 设等差数列的公差为d,?
则a7-a4=3d,?
∴3d=-6,d=-2.?
∴a1=a4-3d=9+6=15,?
∴Sn=15n+ ×(-2)?
=-n2+16n
=-(n-8) 2+64,?
∴当n=8时，Sn取最大值64.
6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
［答案］ B
［解析］ ∵S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15，
S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30，
∴S偶-S奇=5d=15,∴d=3.
7.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
［答案］ C
［解析］ 由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为定值，则S13= =13a7也为定值，故选C.
8.等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=（ ）?
A.38 B.20 C.10 D.9
［答案］ C?
［解析］ 由等差数列的性质，得
am-1+am+1＝2am，
∴2am=am2,由题意，得am≠0,∴am=2.
又S2m-1= = =2(2m-1)=38,
∴m=10.
二、填空题
9.在等差数列{an}中，a1＞0,d= ,an=3,Sn= ,则a1=,n=.
［答案］ 2 3
3＝a1+(n-1)×
［解析］ 由题意，得
＝na1+ n×（n-1）×
a1=2
解得 .
n=3
10.(2011•广东理，11)等差数列｛an｝前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= .
［答案］ 10
［解析］ 本题考查等差数列通项公式、前n项和公式以及基本运算能力.
设等差数列公差为d，则an=1+(n-1)d,?
∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0，
∴a7=0,∴1+6d=0,d=- .?
又a4=1+3×(- )= ,ak=1+(k-1)d,?
∴ +1+(k-1)d=0，d=- 代入，得k=10.
11.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2（n∈N+），则an=,此时Sn与nan的大小关系是 .
［答案］ -4n+5 Sn≥nan
［解析］ n=1时，S1=a1=1;?
n≥2时，an=Sn-Sn-1=-4n+5
n=1时，也适合上式，故an=-4n+5.?
Sn-nan=3n-2n2-n(-4n+5)?
=2n2-2n=2n(n-1)≥0,?
故Sn≥nan.
12.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1,S5=10,当Sn取最大值时，n的值为 .?
［答案］ 4或5
［解析］ 由a4=a1+3d=1,S5=5a1+10d=10,得
a1=4,d=-1,?
Sn=4n- = ?
=- .?
（n- ）2+ ,?
又∵n∈N+,∴当n=4或n=5时，Sn最大.
三、解答题
13.设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50.
（1）求通项an;?
（2)若Sn=242，求n.?
［解析］ （1）由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组
a1+9d=30
，解得a1=12,d=2,
a1+19d=50
∴an=2n+10.
（2）由Sn=na1+ d,Sn=242,得方程12n+ ×2=242,
解得n=11或n=-22（舍去）.∴n=11.
14.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6=36，Sn=324,若Sn-6=144(n>6),求数列的项数n.
［解析］ 由题意可知
a1+a2+…+a6=36, ①
an+an-1+…+an-5=324-144, ②
由①+②，得
（a1+an）+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=216,
∴6(a1+an)=216,∴a1+an=36.
∴Sn= =18n=324,∴n=18.
15.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.?
（1）甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？?
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？
［解析］ （1）设n分钟后第一次相遇，依题意得
2n+ +5n＝70,
整理得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).?
甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟.?
(2)设n分钟后第二次相遇，依题意，得
2n+ +5n=3×70，
整理得n2+13n-6×70＝0，
解得n=15,n=-28(舍去).?
甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟.
16.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;?
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大，并说明理由.
［解析］ (1)设{an}的首项为a，由已知有
a+2d=12
12a+ d>0 ，
13a+ d<0
24+7d>0
将a=12-2d代入两个不等式，消去a得 -
? S12>0 12a+ d>0
(2)解法一：由
S13<0 13a+ d<0
a+ d>0 a+ d>0
.
a+6d<0 a7<0
因为d<0，a6=a+5d>a+ d>0，可知a1>a2>…>a6>0>a7>…，所以S1,S2,…,S12中最大的是S6.
［另法：S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，得a6+a7>0，a7<0.所以a6>-a7>0.所以S6最大.］
解法二：Sn=na+ d=n(12-2d)+ n(n-1)d= n2+ n，二次函数y= x2+ x的对称轴方程为x=- = - ，由于-
知能目标解读
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式.
2.理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应用.
3.掌握等差数列的前n项和之比问题，以及实际应用.
重点难点点拨
重点：熟练应用等差数列前n项和公式解决一些应用问题.
难点：会求与等差数列有关的一些简单最值问题.
学习方法指导
an与Sn的关系
如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列也随之确定：a1=S1,a2=S2-S1，a3=S3-S2，…，其通项公式如下：
S1 (n=1)
an= ，利用这一公式应当注意：
Sn-Sn-1 (n≥2)
检验n=1时，a1=S1是否符合an=Sn-Sn-1 (n≥2)的形式.如果符合，则可将a1=S1合并到an=Sn-Sn-1（n≥2）中；如果不符合，则必须采用分段函数的形式来表示，不能直接用an=Sn-Sn-1.
注意：
已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an=Sn-Sn-1 (n≥2)，这里常常因为忽略了条件n≥2而出错.即由an=Sn-Sn-1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n=1时，Sn-1=S0，而与前n项和的定义矛盾.可见由此求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n=1时是否也成立.
知能自主梳理
1.等差数列前n项和的二次函数形式
等差数列的前n项和Sn＝na1+ d可以改写成：Sn＝ n2+(a1- )n.当 d≠0时，Sn是关于n的函数，所以可借助函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题.
2.等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0,d<0.则Sn存在最值；a1<0,d>0，则Sn存在最值.
3.等差数列奇数项与偶数项的性质
（1）若项数为2n，则
S偶-S奇＝， ＝.
(2)若项数为2n-1,则
S奇-S偶＝， ＝.
［答案］ 1.二次 二次
2.大 小
3.(1)nd （2）an
思路方法技巧
命题方向 已知Sn求an
［例1］ 已知数列{an}的前n项和Sn=- n2+ n,求数列{an}的通项公式an.
S1(n=1)
［分析］ 利用an与Sn的关系an= ，求解.
Sn-Sn-1 (n≥2)
［解析］ 当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=（- n2+ n）-［- (n-1) 2+ (n-1)］
=-3n+104.
当n=1时，a1=S1=- + =101满足上式，
∴an=-3n+104(n∈N+).
［说明］ 由Sn求通项公式an时，要分n=1和n≥2两种情况，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
变式应用1 Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
（1）Sn=2n2+3n＋2；
（2）Sn=3n-1.
［解析］ （1）当n=1时，a1=S1=7,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n＋2)-［2(n-1) 2+3(n-1)＋2］=4n+1，又a1=7不适合上式，
7 （n=1）
∴an= .
4n+1 (n≥2)
(2)当n=1时，a1=S1=2,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）
=2×3n-1，显然a1适合上式，
∴an=2×3n-1 (n∈N+).
命题方向 求数列{|an|}的前n项和
［例2］ 已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
［分析］ 由Sn＝12n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数且n∈N+，可知{an}是等差数列，可求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.
［解析］ 当n=1时，a1=S1=12-12=11.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-［12(n-1)-(n-1) 2］=13-2n.
又n=1时适合上式，
∴{an}的通项公式为an=13-2n.
由an=13-2n≥0得n≤ ，
即当1≤n≤6(n∈N+)时，an>0,当n≥7时，an<0.
①当1≤n≤6（n∈N+）时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=12n-n2.
②当n≥7(n∈N+)时，
Tn=|a1|+|a2|+…|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn
=2(12×6-62)-［11n+ ×(-2)］=n2-12n+72.
12n-n2(1≤n≤6,n∈N+)
∴Tn= .
? n2-12n+72(n≥7,n∈N+)
［说明］ 对于带绝对值符号的数列求和问题，应先弄清n取什么值时，an>0或an<0，然后求解.本题的易错点是：（1）对n在什么范围内取值时，an>0或an<0的讨论.（2）在求Tn时需对n的范围进行分类讨论，不能忽略了当1≤n≤6时的情况.
变式应用2 等差数列｛an｝的前n项和为Sn=-5n2+20n，求数列{|an|}的前n项和Sn.
［解析］ 设首项为a1，公差为d，则a1=S1=15,
S2=-5×4+40=20.
∴a2=S2-a1=5,
∴d=a2-a1=-10.
∴an=-10n+25.
由an≥0,即-10n+25≥0，得n≤2.5,
又∵n∈N+，∴a1,a2为正，a3,a4,…为负,
∴当n≤2时，|an|=an,Sn=-5n2+20n;
当n>2时，|an|=-an,
∴Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2-a3-a4-…-an=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2)=-Sn+2S2=5n2-20n+40.
-5n2+20n （n≤2）
∴Sn= .
5n2-20n+40 （n>2）
命题方向 等差数列前n项和性质
［例3］ 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
［分析］ 设项数为2n－1，则奇数项有n项，偶数项为n-1项，由奇数项之和与偶数项之和的关系，列式求解.
［解析］ 设等差数列共2n-1项，则奇数项有n项，偶数项有n-1项，中间项是第n项，记为an,设公差为d,
S奇＝a1+a3+a5+…+a2n-1=44
则
S偶＝a2+a4+a6+…+a2n-2=33
∴S奇－S偶＝nan-(n-1)an=an=11
即中间项an=11.
又S2n-1=S奇＋S偶＝77.
∴ = =77
∴(2n-1)×11＝77，∴2n-1=7.
即数列的中间项为11，这个数列共7项.
［说明］ 等差数列｛an｝中，公差为d:
①若共有2n项，则S2n=n(an+an+1);
S偶－S奇＝nd;S偶：S奇＝an+1：an.
②若共有2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an;
S奇－S偶＝an;S偶：S奇＝（n-1）：n.
变式应用3 在等差数列｛an｝中，前12项和为354，前12项中奇数项的和与偶数项的和之比为27：32,求公差d.
［解析］ 解法一：设这个数列的首项为a1,公差为d,则12a1+ d=354.
= d=5.
S奇＋S偶＝354， S偶＝192，
解法二：
＝ S奇＝162.
又S偶－S奇＝6d,∴d=5.
探索延拓创新
命题方向 等差数列的实际应用
［例4］ 从5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，5月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.
（1）记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an；
（2）求五月份的总销售量；
（3）按规律，当该商场销售此服装超过1300件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由.
［分析］ 由题意可知：从5月1日到5月13日，服装日销售量成递增的等差数列；从5月14日到5月31日，服装日销售量成递减的等差数列.解答本题可先确定an与n的关系，然后用等差数列的前n项和公式解决问题.
［解析］ （1）依题意，数列a1,a2,…,a13是首项为10，公差为15的等差数列.
∴an=15n-5(1≤n≤13)，
a14,a15,a16,…,a31是首项为a14=a13-10=180,公差为-10的等差数列.
∴an=180+(n-14)(-10)=-10n+320(14≤n≤31)，
15n-5(1≤n≤13，n∈N+)
∴an= .
-10n+320(14≤n≤31，n∈N+)
(2)五月份的总销售量为 +17×180+ ＝3000（件）.
(3)5月1日至5月13日销售总数为 = =1200<1300.
∴5月13日前还没有流行，由-10n+320<100得n>22,
∴第22天流行结束，故该服装在社会流行没有超过10天.
［说明］ 数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系（即等差数列模型），然后确定公差、首项、项数是什么，分清an与Sn,然后选用适当的方法求解，最后回归实际.
变式应用4 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
［解析］ 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}.
则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,
a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,
∴an=50+［1 000-50(n-1)］×1%
=60- (n-1) (1≤n≤20,n∈N).
∴{an}是以60为首项，- 为公差的等差数列，
∴a10=60-9× =55.5，
a20=60-19× =50.5.
∴S20= ×（a1+a20）×20
=10×（60+50.5）=1 105.
∴实际共付1 105+150=1 255万元.
名师辨误做答
［例5］ 已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn+1) =n+1(n=1,2,…),试求数列｛an}的通项公式.
［误解］ 由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1.
∴an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9•10n.
∴数列{an}的通项公式为an=9•10n.
S1,n=1
［辨析］ 上面解法在运用公式an= 时漏掉了n=1时的情况，实际上当n=1时，
Sn-Sn-1,n≥2
a1=S1=102-1=99,不适合通项公式an=9•10n,故应分情况讨论.
［正解］ 由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9•10n,
当n=1时，a1=S1=102-1 =99不满足上式，
99(n=1)?
∴an= .
9•10n(n≥2)
课堂巩固训练
一、选择题
1.已知等差数列{an}中,前15项之和为S15=90,则a8等于（ ）
A.6 B. C.12 D.
［答案］ A
［解析］ ∵S15=a1+a2+…a15=15a8=90,
∴a8=6.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2,则（ ）?
A.an=2n-1 B.an=2n+1?
C.an=-2n-1 D.an=-2n+1?
［答案］ A?
［解析］ 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1) 2
=n2-n2+2n-1=2n-1,?
当n=1时，a1=S1=1满足上式，?
∴an=2n-1(n∈N+).
3.已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1等于（ ）
A.30 B.29 C.28 D.27?
［答案］ B?
［解析］ ∵S奇-S偶=an+1,
∴an+1=29.
二、填空题
4.在等差数列{an}中，a5+a10=58,a4+a9=50,则它的前10项和为.?
［答案］ 210?
［解析］ 解法一：a5+a10=2a1+13d=58,?
a4+a9=2a1+11d=50,∴a1=3,d=4，
∴S10=10×3+ ×4=210.
解法二：a5+a10=(a1+a10)+4d=58,
a4+a9=(a1+a10)+2d=50,∴a1+a10=42,?
∴S10= =210.
5.（2011•辽宁文，15）Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5＝.
［答案］ -1?
［解析］ 本题考查了对等差数列前n项和的理解和应用，同时还考查了等差数列的运算性质及考生灵活处理问题的能力.?
∵S2=S6,∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0
又∵a3+a6=a4+a5?
∴S6-S2=2(a4+a5)=0?
∴a4+a5=0?
又∵a4=1,∴a5=-1.
课后强化作业
一、选择题
1.四个数成等差数列，S4=32,a2：a3=1：3,则公差d等于（ ）
A.8 B.16 C.4 D.0
［答案］ A?
［解析］ ∵a2： a3=1：3，∴ = ，∴d=-2a1，
又S4=4a1+ d=-8a1=32，∴a1=-4，
∴d=8.
2.在等差数列{an}中，若S12=8S4，且d≠0，则 等于（ ）
A. B. C.2 D.
［答案］ A?
［解析］ 由题意，得12a1+ ×12×11×d
=8（4a1+ ×4×3×d）,?
∴10a1=9d,?
∴ = .
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于（ ）?
A.63 B.45 C.36 D.27?
［答案］ B?
［解析］ 解法一：∵{an}是等差数列，∴S3、S6-S3、S9-S6为等差数列.
∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),?
∴S9-S6=2S6-3S3=45.?
解法二：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，令bn= ,则{bn}成等差数列.
由题设b3= =3,b6= =6,?
∴b9=2b6-b3=9.?
∴a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时，n的值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8?
［答案］ B?
［解析］ 解法一：∵a1>0,S4=S8,∴d<0,且a1=- d,∴an=- d+(n-1)d=nd- d，
an≥0 nd- d≥0
由 ，得 ，
an+1<0 (n+1)d- d<0
∴5
∴d<0且a5+a6+a7+a8=0，?
∴a6+a7=0,∴a6>0,a7<0,∴前六项之和S6取最大值.
5.(2011•大纲全国理，4)设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5?
［答案］ D
［解析］ 本小题考查的内容是等差数列的前n项和公式与通项公式.?
方法一：Sk+2-Sk=［(k+2)×1+ ×2］-［k×1+ ×2］=4k+4=24,∴k=5.
方法二：Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=［1+(k+1)×2］+［1+k×2］
=4k+4=24,∴k=5.
6.设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5
A.d<0 B.a7=0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值.?
［答案］ C?
［解析］ 由S5
由S7>S8知a8<0,C选项S9>S5即a6+a7+a8+a9>0,∴a7+a8>0,显然错误.
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 =a1 +a200 ,且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200=（ ）
A.100 B.101 C.200 D.201
［答案］ A
［解析］ ∵ =a1 +a200 ，且A、B、C三点共线，
∴a1+a200=1，S200= =100.
8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
［答案］ D?
［解析］ 由等差数列的性质可得
= =
= = = =7+ .?
∴当n取1、2、3、5、11时，符合条件.
二、填空题
9.2012是等差数列4，6，8，…中的第项.?
［答案］ 1005?
［解析］ 等差数列4,6,8,…的第n项?
an=4+2(n-1)=2n+2,?
令2012=2n+2,∴n=1005.
10.已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和的比为 = ,则 =.
［答案］
［解析］ = = = = = = .
11.设数列{an}的通项为an=3n-10(n∈N+)，则|a1|+|a2|+…+|a10|=.
［答案］ 89?
［解析］ |a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)
=(1+4+7)+(2+5+8+11+14+17+20)=89.
12.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=.?
［答案］ 24
［解析］ ∵｛an｝是等差数列，?
由S9=72得，S9＝9a5,∴a5=8
∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4
=(a5+a6)+a4=3a5=24.
三、解答题
13.已知数列{an}的前n项和Sn=5n-3,求数列的通项公式an.?
［解析］ ∵数列的前n项和Sn=5n-3,?
∴当n=1时，a1=S1=5-3=2,?
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)
=4•5n-1,
∴a1=S1=2不满足上式.?
2 (n=1)
∴数列的通项公式an= .
? 4•5n-1?(n≥2)
14.数列｛an｝的前n项和Sn=n2-7n-8.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求｛|an|｝的前n项和Tn.
［解析］ (1)当n＝1时，a1=S1=-14;?
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-8,?
-14 (n=1)?
故an= .
2n-8 (n≥2)
(2)由an=2n-8可知：当n≤4时，an≤0,
当n≥5时，an>0.
∴当n≤4时，Tn=-Sn=-n2+7n+8,
当n≥5时，Tn=-S4+(Sn-S4)＝Sn-2S4=n2-7n-8-2×(-20)=n2-7n+32,
-n2+7n+8 (1≤n≤4)
∴Tn= .
n2-7n+32 (n≥5)
15.等差数列{an}中，a1<0,S9=S12,则该数列前多少项的和最小？
［解析］ 解法一：设等差数列{an}的公差为d,则由题意得
9a1+ ×9×8×d=12a1+ ×12×11×d
即3a1=-30d,∴a1=-10d,?
∵a1<0,∴d>0,?
∴Sn=na1+ n(n-1)d= dn2- dn?
= （n- ）2- 2d.?
∵d>0,∴Sn有最小值.
又∵n∈N*,∴n=10或n=11时，Sn取最小值.
解法二：同解法一，由S9=S12，得 =- .?
an=a1+(n-1)d≤0 1- (n-1)≥0
由 ，得 .
an+1=a1+nd≥0 1- n≤0
解得10≤n≤11.?
∴n取10或11时，Sn取最小值.
解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0,∴3a11=0,
∴a11=0.∵a1<0,
∴前10项或前11项和最小.
16.已知公差大于零的等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足：a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列｛an｝的通项公式an;?
(2)若数列｛bn｝是等差数列，且bn＝ ,求非零常数c.
［解析］ (1){an}为等差数列，
∵a3+a4=a2+a5=22,?
又a3•a4=117,?
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.?
又公差d>0,∴a3
a1+2d=9 a1=1
∴ ，∴ ，
a1+3d=13 d=4,?
∴an=4n-3.
(2)由（1）知，Sn=n•1+ •4=2n2-n,?
∴bn= = ,?
∴b1= ,b2= ,b3= ,?
∵{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3,?
∴2c2+c=0，∴c=- (c=0舍去).
§3 等 比 数 列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
知能目标解读
1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列，并能确定等比数列的公比.
2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题.
重点难点点拨
重点：等比数列的定义和通项公式的应用.
难点：等比数列与指函数的关系.
学习方法指导
1.等比数列的定义
要正确理解等比数列的定义，应注意以下几方面：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0.
②“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
③ 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒.
④如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列.
⑤如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列.
⑥常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列.当常数列各项不为0时，它是等比数列，且公比q=1.
注意：
(1)由等比数列的定义知，要证明一个数列是等比数列，只需证明对任意n∈N+， 是一个常数或证明对任意n∈N+且n≥2， 是一个常数，这时所说的常数是指一个与n无关的常数.
(2)要证明一个数列不是等比数列，可证明 或 (n≥2)不是一个常数，也可以采用举反例的方法，举一个反例即可.
2.等比数列的通项公式
（1）等比数列的通项公式：首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1 (a1≠0,q≠0).
（2）等比数列通项公式的推导
教材上是采用的不完全归纳法推导等比数列的通项公式为an=a1qn-1.除此之外，还可以用如下方法推导.
方法1：累积法：因为 =q, =q,… =q， =q,
将这n-1个式子相乘得 =qn-1,所以an=a1qn-1.
方法2：迭代法：根据等比数列的定义有an=an-1•q=an-2•q2=…=a2•qn-2=a1•qn-1.
（3）通项公式中的基本量：通项公式中涉及的基本量有：a1,q,n,an，知道其中的三个，可以求出第四个量，即“知三求一”问题.
注意：
由等比数列的通项公式an=a1qn-1可知，要写出其通项，必须知道a1和q，因此要确定通
项公式，需两个独立的条件.
（4）等比数列通项公式的变形形式：若{an}是公比为q的等比数列，则对任意的m,n∈N+，有an=am•qn-m.
∵an=a1qn-1 ①
am=a1qm-1 ②
由①÷②得 = =qn-m，∴an=amqn-m.
这里的an=am•qn-m可以看成是通项公式的另一种形式.
注意：
在已知a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1可以求出等比数列中的任意一项;在已知等比数列任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
（5）用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1，可以改写为an= •qn.当q>0，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而y= •qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图像是函数y= •qx的图像上的一群孤立的点.
例如，当a1=1，q=2时，an= •2n，表示这个数列各项的点就都在函数y= •2x的图像上，如下图所示：
3.等比中项
(1)在a,b同号时，a,b的等比中项有两个，它们互为相反数；在a,b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第二项起（有穷数列的末项除外）每一项都是它的前一项与后一项的等比中项.
(3)若a,b,c成等比数列，则b2=ac;反过来，若b2=ac，则a,b,c不一定成等比数列，如a=b=0.
特别地，若a,b,c均不为零时，则a,b,c成等比数列 b2=ac.
(4)注意a,b,c成等比数列与b= 是不等价的.?
知能自主梳理
1.等比数列的定义
如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.
2.等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列｛an｝的首项为a1,公比为q(q≠0),
填表：
递推公式通项公式
=q(n≥2)
an=
3.等比中项
（1）如果三个数x,G,y组成，则G叫做x和y的等比中项.
（2）如果G是x和y的等比中项，那么,即.
［答案］ 1.第2项 同一个常数 公比 q
2.a1qn-1
3.等比数列 G2=xy G=±
思路方法技巧
命题方向 等比数列的判断
［例1］ 已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an+1,求证：｛an｝是等比数列，并求出通项公式.
［分析］ 要证数列是等比数列，关键是看an与an-1之比是否为一个常数，由题设还须利用an=Sn-Sn-1 (n≥2),求得an.
［证明］ ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.
∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.
∴an+1=2an. ①
又∵S1=a1=2a1+1,∴a1=-1≠0.
由①式可知，an≠0,
∴由 =2知｛an｝是等比数列，an=-2n-1.
［说明］ (1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明an≠0是非常重要的.证明中，也可以写出Sn-1=2an-1+1,从而得到an=2an-1,只能得到n≥2时，｛an｝是等比数列，得到n≥2时，an=-2n-1,再将n=1代入，验证a1=-1也满足通项公式的要求.
（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：
①定义法
=q(q为常数且不为零) {an}为等比数列.
②等比中项法
an+12=anan+2 (n∈N+且an≠0) {an}为等比数列.
③通项公式法
an=a1qn-1 (a1≠0且q≠0) {an}为等比数列.
变式应用1 判断下列数列是否为等比数列.
(1)1,3,32,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
［解析］ （1）此数列为等比数列，且公比为3.
(2)此数列不是等比数列.
(3)当a=0时，数列为0,0,0,…,是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列且公比为a.
命题方向 等比数列的通项公式的应用
［例2］ 在等比数列｛an｝中，已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.
［分析］ 本题可以列关于a1,q的方程组入手，解出a1与q,然后再求an.
［解析］ 设等比数列｛an｝的首项为a1,公比为q,
a5-a1=a1q4-a1=15 ①?
因为
a4-a2=a1q3-a1q=6 ②
由 得q= 或q=2.
当q= 时，a1=-16.
当q=2时，a1=1,
∴an=-16×（ ）n-1或an=2n-1.
［说明］ 首项和公比是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比.
变式应用2 已知等比数列{an}中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
a1q+a1q4=18 a1=32
［解析］ 解法一：由题意得 ，解得 .
a1q2+a1q5=9 q=
∴an=a1qn-1=32（ ）n-1=1,
∴26-n=20,∴n=6.
解法二：∵a3+a6=q(a2+a5),
∴q= ,又∵a1q+a1q4=18,
∴a1=32,
∴an=a1qn-1=32×（ ）n-1=1,
解得n=6.
命题方向 等比中项的应用
［例3］ 等比数列｛an｝的前三项的和为168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
［分析］ 设出首项和公比→由题意列方程组→解方程组求q→求a1→求等比中项.
［解析］ 设该等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a5=42,所以q≠1,由已知，得
a1+a1q+a1q2=168 a1（1+q+q2）=168
，所以 ，
a1q-a1q4=42 a1q(1-q3)=42
因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),
所以由②除以①，得q(1-q)= .
所以q= .
所以a1= =96.
若G是a5,a7的等比中项，则应有G2＝a5a7=a1q4•a1q6=a12q10=962×（ ）10=9.
所以a5,a7的等比中项是±3.
［说明］ 由等比中项的定义可知： = G2=ab G=± .这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.异号的两数没有等比中项.反之，若G2＝ab(ab≠0),则 = ,即a,G,b成等比数列.所以a,G,b成等比数列 G2=ab(ab≠0).
变式应用3 若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值.
［解析］ 因为a,2a+2,3a+3成等比数列，
所以（2a+2）2=a(3a+3).
解得a=-1或a=-4.
因为当a=-1时，2a＋2，3a+3均为0，故应舍去.
故a的值为－4.
探索延拓创新
命题方向 等比数列的实际应用
［例4］ 据《中国青年报》2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少
到公元年后，我国艾滋病毒感染者将超过1000万人.(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg7=0.8451)
［答案］ 2012
［解析］ 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1000万人，则80•(1+40%)x=1000,
即（ ）x= ，
∴lg（ ）x=lg ,
∴x= = =
= = ≈7.51(年).
故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数将超过1000万人.
名师辨误做答
［例5］ 在等比数列{an}中，a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，试求a7.
［误解］ ∵a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，
a5+a9=
∴
a5•a9=1
又∵a7是a5、a9的等比中项，∴a72=a5•a9=1，即a7=±1.
［辨析］ 上述解法忽视了对a7的符号的讨论，由于a5、a9均为正数且公比为q=± =± ，所以不论q取正还是取负，a7始终与a5和a9的符号相同.
［正解］ ∵a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，
a5+a9= >0
∴ ，
a5•a9=1>0
∴a5>0,a9>0,
又∵a7是a5、a9的等比中项，
∴a72=a5•a9=1.
又a7与a5、a9的符号相同，
∴a7=1.
课堂巩固训练
一、选择题
1.若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
［答案］ B
［解析］ ∵ •（ ）n-1= ,?∴（ ）n-1= =（ ）3,∴n=4.
2.若{an}为等比数列，且2a4=a6-a5，则公比是（ ）
A.0 B.1或-2 C.-1或2 D.-1或-2
［答案］ C
［解析］ 由2a4=a6-a5，得2a1q3=a1q5-a1q4.
∵a1≠0,q≠0，
∴q2-q-2=0,∴q=-1或2.
3.等比数列{an}中，a4=4,则a2•a6等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
［答案］ C
［解析］ ∵a2•a6=a42=16,故选C.
二、填空题
4.2+ 与2- 的等比中项为.
［答案］ ±1
［解析］ 设2+ 与2- 的等比中项为G，则G2＝（2+ ）（2- ）＝1，
∴G＝±1.
5.下列各组数成等比数列的是 .?
①1,-2,4,-8;②- ,2,-2 ,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4.
［答案］ ①②④
［解析］ 由等比数列的定义进行判断，①组的公比为－2；②组的公比为－ ;③组中当x=0时，不成等比，当x≠0时为等比数列，④组的公比为a-1.
三、解答题
6.已知等比数列｛an｝中，a1= ,a7=27,求an.
［解析］ 由a7=a1q6,得27＝ •q6，?
∴q6=272=36,∴q=±3.?
当q=3时，an=a1qn-1= ×3n-1=3n-4;?
当q=-3时，an=a1qn-1= ×（-3）n-1＝－（-3）-3•（-3）n-1＝－（-3）n-4.?
故an=3n-4或an=-(-3) n-4.
课后强化作业
一、选择题
1.已知等比数列｛an｝中，a1=32,公比q=- ,则a6等于（ ）?
A.1 B.-1 C.2 D.
［答案］ B
［解析］ a6=a1q5=32×（－ ）5=-1,故选B.
2.已知等比数列{an}中，a2011=a2013=-1,则a2012=（ ）?
A.-1 B.1 C.1或－1 D.以上都不对?
［答案］ C?
［解析］ ∵a2011,a2012,a2013成等比数列，
∴a22012=a2011•a2012=1,?
∴a2012=1或-1.
3.已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（ ）
A.64 B.81 C.128 D.243?
［答案］ A
［解析］ ∵{an}是等比数列，a1+a2=3,a2+a3=6,?
∴设等比数列的公比为q，?
则a2+a3=（a1+a2）q=3q=6，
∴q=2.?
∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,
∴a1=1,?
∴a7=a1q6=26=64.
4.已知a,b,c成等比数列，则方程ax2+bx+c=0的根的情况为（ ）
A.有两个不等实根 B.有两个相等实根
C.只有一个实根 D.无实根?
［答案］ D?
［解析］ ∵a,b,c成等比，∴b2=ac,且b≠0.?
∴Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0,?
故方程ax2+bx+c=0无实根.
5.在等比数列｛an｝中，a5•a6•a7＝3，a6•a7•a8=24,则a7•a8•a9的值等于（ ）
A.48 B.72 C.144 D.192
［答案］ D
［解析］ 设公比为q,则a6•a7•a8=a5•a6•a7•q3,?
∴q3= =8.?
又a7•a8•a9=a6•a7•a8•q3=24×8＝192.
6.已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c)，则ad等于（ ）?
A.3B.2C.1D.-2
［答案］ B?
［解析］ ∵曲线y=x2-2x+3=(x-1) 2+2,?
∴曲线的顶点为（1，2），?
∴b=1,c=2,又∵a,b,c,d成等比数列，∴ad=bc=2.
7.已知lga,lgb,lgc三数成等差数列，则（ ）?
A.a+b=2c B.b=±
C.a+c=2b D.a、b、c成等比数列
［答案］ D
［解析］ 由题意，知a>0,b>0,c>0,?
且2lgb=lga+lgc,
∴b2=ac,故选D.
8.在等比数列{an}中，若a2•a8=36,a3+a7=15,则公比为（ ）
A. , B.±
C.± D.± ,±
［答案］ D?
a3•a7=a2•a8=36 a7=12 a7=3
［解析］ 因为 ，所以 ，或
a3+a7=15 a3=3 a3=12
所以q4=4或q4= ，所以q=± ,或q=± .
二、填空题
9.在等比数列{an}中，a2=3,a8=24,则a5=.?
［答案］ ±6
［解析］ ∵a2=3,a8=24,且｛an｝为等比数列
∴a2•a8=a25=3×24＝72
∴a5=±6 .
10.若a1,a2,a3,a4成等比数列，公比为2，则 的值为.?
［答案］
［解析］ 由题意，得a2=2a1,a3=4a1,?
a4=8a1,∴ = = .
11.(2012•苏州高二检测)在等比数列｛an｝中，已知a1=9,q=- ,an= ,则n=.
［答案］ 5
［解析］ 由题意知，an=a1qn-1,?
即 =9×（- ）n-1,?
∴n=5.
12.已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q=.
［答案］
［解析］ 设该正项等比数列为｛an｝,公比为q,由题意，得
an=an+1+an+2=anq+anq2,?
∴q2+q-1=0,
∵q>0,∴q= .
三、解答题
13.在等比数列｛an｝中，a2=4,a5=- ,求an.?
［解析］ 由已知，有a2=4,a5=- .
a1q=4,
由 ，得a1=-8,q=- .
? a1q4=-
∴an=(-8)×（- ）n-1，即an=(-1) n• .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn= (an-1)(n∈N+)
(1)求a1,a2;?
(2)求证：数列｛an｝是等比数列.
［解析］ (1)由S1= (a1-1),得a1= (a1-1),
∴a1=- .
又S2= (a2-1),即
a1+a2= (a2-1),得a2= .?
(2)证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1
= (an-1)- (an-1-1),
得 =- ,?
所以｛an｝是首项为－ ,公比为－ 的等比数列.
15.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
［解析］ 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1=120,q=120,因此，a5=120×1204≈2.5×1010.
答：到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒.
16.三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，又这三个数的和为6，求这三个数.
［解析］ 由已知，设这三个数为a-d,a,a+d,?
∴a-d+a+a+d=6.?
∴a=2,这三个数为2-d,2,2+d.?
若2-d为等比中项，则有（2-d）2=2(2+d),?
解得d=6,或d=0（舍去），此时三数为-4,2,8.?
若2+d是等比中项，则有（2+d）2=2(2-d),?
解得d=-6,或d=0(舍去)，此时三个数为8，2， -4.
若2为等比中项，则22=(2+d)(2-d),?
∴d=0（舍去）.?
综上可知，三数为-4，2，8.