向量的加法和减法例题讲解

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例题讲解：向量的加法和减法
本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算，故要安排范例与足够的练习，使学生对向量的线性运算有相当的掌握．向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几何命题基础，也应配备适当例题，提高学生这方面能力，开始还要给出一些辨识相等向量的图形和使用向量各种表示记号的训练．
例1．如图5－4已知梯形ABCD中，两底角∠A =∠B=60°，E为AB中点，且ED∥BC，适当添加箭头后，写出分别与向量 、 、 相等的向量．
由已知可断定（？）图中3个正三角形全等．
故与 相等的向量有 、 ．
与 相等的向量有 ．
与 相等的向量有 ．

例2．用五边形ABCDE，作出下列向量：
(1) ， ， ， ；(2) + ；
(3) + + + ；(4) ．
如图5-5
(1)略
(2)即
(3)原式=
过B作 ∥ 原式=
(4)原式= = + =
还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练，但也要适可而止．

例3．如图5-6， ABCD中E、F分别是BC、CD的中点，若记 ， ，试用 、 表示向量 、 、 和
从图中可知由 、 可先求出 =2 =2 －2
若记 = ， =
则 = ， =
而有 + = ，
联立以上二式，可得 = =
而
∴ =

例4．证明三角形中位线定理．
已知：图5-7中D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥ BC 且DE＝ BC．
证明：Ｄ、E分别为AB、AC的中点
，
=
∴ DE∥ BC且DE= BC．

例5．图5-8，△ABC中，点C分OA边为1∶3，点D分OB边为2∶3，AD与BC交于点P，延长OP交AB于E，求E点分AB所成的比，
解：记 ， ，则 = ，
∵ 点P在直线AD上，存在t R使 =
∴
∴ =(1－t ) + ①
相仿由点P在BC上可得 =(1－m) + ②
比较①、② 求出t = ，
∴ = + ③
又由点E在AB上可有 ④
∵ 与 共线， = = ⑤
比较④、⑤可得S =
∴
∴
∴
则 =2∶1
而点E分AB边的比为2∶1