1.5.2二项式系数的性质

详细内容

1.5.2二项式系数的性质

教学目标：
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用
教学重点：
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用
教学过程
一、复习引入：
1．二项式定理
，
2．二项展开式的通项公式：
二、讲解新课：
1 二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当 依次取 …时，二项式系数表，表中每行两端都是 ，除 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ ）．
（2）增减性与最大值．∵ ，
∴ 相对于 的增减情况由 决定， ，
当 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵ ，
令 ，则
三、例子
例1．在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式 中，令 ，则 ，
即 ，
∴ ，
即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知 .
例2．已知 ，求：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1）当 时， ，展开式右边为

∴ ，
当 时， ，∴ ，
（2）令 ， ①
令 ， ②
① ② 得： ，∴ .
（3）由展开式知： 均为负， 均为正，
∴由（2）中①+② 得： ，
∴ ，
∴

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
= ，
∴原式中 实为这分子中的 ，则所求系数为
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为 ，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10
设第r+1项为常数项，又
令 ，
此所求常数项为180
课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质
课堂练习：
课后作业：