集合的概念与运算
详细内容
题目 第一章集合与简易逻辑 集合的概念与运算
高考要求
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质
知识点归纳
定义：一组对象的全体形成一个集合.
特征：确定性、互异性、无序性.
表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
分类：有限集、无限集.
数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N 、空集φ.
关系：属于∈、不属于 、包含于 (或 )、真包含于 、集合相等＝.
运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算 ＝{x|x A且x∈U}，U为全集
性质：A A； φ A； 若A B，B C，则A C；
A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝A A∪B＝B A B；
A∩C A＝φ； A∪C A＝I；C ( C A)＝A；
C (A B)＝(C A)∩(C B).
方法：韦恩示意图, 数轴分析.
注意：① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 -1, 所有非空真子集的个数是 。
④区分集合中元素的形式：如 ； ； ； ； ； ； 。
⑤空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。
⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
题型讲解
例1 已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是
A.P QB.Q PC.P=QD.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
例3 已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠ ，求实数m的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由 得
x2+（m－1）x+1=0.①
∵A∩B≠ ，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.
评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.
例4设 ，求实数 的取值范围。
分析：若满足 ，则集合B需分两种情况求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。
解：由 .
∵ ，∴
当 ，即 无实根，由 ，
即 ，解得 ；
当 时，由根与系数的关系：
当 时，由根与系数的关系：
当 时，由根与系数的关系：
综上所得 。
例5 求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
解：如图先画出文氏图，不难看出不符合条件
的数共有
（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
例6 已知全集 ，A={1, }如果 ，则这样的实数 是否存在？若存在，求出 ，若不存在，说明理由。
分析：此题的关键是理解符号 是两层含义：
解：∵ ∴ ，即 ＝0，
解得
当 时， ，为A中元素
当 时，
当 时，
∴这样的实数x存在，是 或 。
另法：∵ ∴ ，
∴ ＝0且
∴ 或 。
变式思考题：
同时满足条件：① ②若 ，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个：
.
例7 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解：设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，
既学舞蹈又学唱歌的人又z人，
由题意可列方程：
解得
所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人。
例8对于集合 , 是否存在实数 ？若存在，求出 的取值，若不存在，试说明理由。
解： ∴ , 即二次方程:
，
,解之得
故存在实数 .
例9已知集合 ， ,
,求 的值。
解：由 可知，
（1） ，或（2）
解（1）得 ，
解（2）得
又因为当 时， 与题意不符
所以， .
例10已知 为全集， , .
解:由
所以
由
例11已知集合 ，求 的值.
解：
（1）当 含有两个元素时： ；
（2）当 含有一个元素时：
若
若
综上可知： 。
小结：
1.正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；
2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。
3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。
4.注意符号的理解，相互之间的转化：例如 等等.
学生练习
题组一：
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
A.{x|x＜－2} B.{x|x＞3} C.{x|－1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.已知集合A={x∈R|x＜5－ }，B={1，2，3，4}，则（ A）∩B等于
A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{3，4}D.{4}
解析： A={x∈R|x≥5－ }，而5－ ∈（3，4），
∴（ A）∩B={4}.
答案：D
3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=P B.P∩Q Q C.P∪Q=Q D.P∩Q P
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q P.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足P Q U，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集 ，则这个运算表达式可以是______.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，
则（ Q）=｛3｝，（ P）={2，3}，易见（ Q）∩P= .
答案：（ Q）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜x A｝，则A、B、C之间的关系是________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛ ，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：B A，A∈C，B∈C
题组二：
1.设全集为实数集R，集合M={x|x21999x2000>0},P={x||x1999|
(C) (D)
2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB
成立的所有a的集合是（ ）
(A){a|1a9} (B){a|6a9} (C){a|a9} (D)
3．设集合A={x|x2
5．设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若B A,则实数a的不同取值个数为 。
6.设全集I=R，集合A={x|x2x2= y2,y R,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则
= .
7．若集合A={32x,1,3} ,B={1,x2},且A B=A,求实数x.
8．设全集I=R，A={x| 0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩ .
9．已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩ B=,求实数a的取值范围。
10．已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m<0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。
11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x| =1},且 A∩B,A∩C=,求实数a的值。
参考答案：
1. D 2． B. 3． B.
4． 7 5． 3 6. (,0][2,+). 7． x= 3或 x= .
8． {1}. 9． a 或 a2 10． m3/2 11． a= 5
课前后备注