2015届高考数学教材知识点复习函数与方程导学案
详细内容
【学习目标】
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
预 习 案
1．函数零点的概念: ( 零点不是点！)
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的 坐标．
2．函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ．
3．函数零点的判断
如果函数y＝f(x)在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 .那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4．二分法的定义
对于在上连续不断，且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的 所在的区间 ，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
5．用二分法求函数f(x)零点近似值
(1)确定区间，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若 ，则x1就是函数的零点；
②若 ，则令b＝x1，(此时零点x0∈(a，x1))；
③若 ，则令a＝x1，(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
【预习自测】
1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( )
A．－2,3 B．2,3 C．2，－3 D．－2，－3
2．函数f(x)＝ －(12)x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在上( )
A．有两个零点 B．有三个零点 C．仅有一个零点 D．无零点
4．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是 ( )
5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a•c<0，则函数的零点个数是________．
( )
探 究 案
题型一 零点的个数及求法
例1. (1)函数f(x)＝xcos2x在区间上的零点的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
(3)判断下列函数在给定区间是否存在零点．
①f(x)＝x2－3x－18，x∈； ②f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈．
探究1. (1)设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ( )
A． B． C． D．
(2) “k>3”是“函数f(x)＝x－2，x∈存在零点的” ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(3)(已知a>0且a≠1，函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．
题型二 零点性质的应用
例2. 若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
探究2. (1)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝ ( )
A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1
(2)已知函数f(x)＝12x＋34，x≥2，log2x，0
例3. 若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，求实数a的取值范围．
探究3.m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4．
(1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比－1大．
例4. 若方程x2－32x－k＝0在(－1,1)上有实根，求k的取值范围．
探究4. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，当x∈时，函数至少有一个零点，求a的取值范围．
题型三 用二分法求方程的近似解
例5. 求方程lnx＋2x－6＝0在内的近似解(精确到0.01)．
探究5. (1)为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：
x0.61.01.41.82.22.63.0
f(x)1.161.000.680.24－0.24－0.70－1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
(2)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
我的学习总结：
（1）我对知识的总结 .
（2）我对数学思想及方法的总结