数列的概念学案
详细内容
第一章 数 列
本章概述
●课程目标
1.双基目标
（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；
（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；
（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；
（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；
（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.
2.情感目标
（1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.
（2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.
（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.
●重点难点
重点：等差数列与等比数列的通项公式.
前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.
难点：等差数列、等比数列的性质及应用.
●方法探究
1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.
2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 .
3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.
4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.
本章注意问题：
（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.
（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果.
（3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.
§1 数 列
第1课时 数列的概念
知能目标解读
1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.
2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.
3.了解数列的分类.
4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.
重点难点点拨
重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.
难点：将数列作为一种函数去认识、了解.
学习方法指导
1.数列的定义
(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号{an}表示数列时，不能把{an}看成一个集合，这是因为：①数列{an}中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；②数列{an}中的数是可以重复的，即数列{an}中可以有相等的项，如1,1,2,2,…，但集合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.
(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如an.其中的右下角标n表示项的位置序号.
(3){an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…，而an仅表示数列的第n项.
2.数列的项与项数
数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an，由于数列{an}的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值f(n)对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.
3.数列的分类
判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.
4.通项公式
(1)由于数列可看做是定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数n是相应的自变量.
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.
(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.
如 的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…就没有通项公式.
注意：
(1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如an=(-1) n，可以写成an=(-1) n+2，还
-1 (n为奇数)
可以写成an= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.
1 (n为偶数),
(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列2,4,8,…根据有限项可以写成an=2n，也可以写成an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.
5.数列的递推公式
(1)递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.
(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：
①通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
②如何用递推公式给出一个数列
用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”――数列{an}的第1项或前几项；②递推关系――数列{an}的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.
(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.
(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.
例如：设数列{an}满足：
a1=1
，写出这个数的前5项.
an=1+ (n>1)
由题意可知a1=1,a2=1+ =1+1=2,a3=1+ =1+ = ，a4=1+ =1+ = ，a5=1+ =1+ = .
∴此数列前5项分别为：1，2， ， ， .
本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.
知能自主梳理
1.数列的概念
（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列.
（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .
（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为： .数列的第1项a1也称 ，an是数列的第n项，叫数列的 .
2.数列的分类
项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 .
3.数列的通项公式
如果数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么式子叫作数列{an}的 .
4.数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种： 、 、 .
［答案］ 1.(1)次序 (2)项 (3)｛an｝ 首项 通项
2.有穷数列 无穷数列
3.通项公式
4.列表法 图像法 解析法
思路方法技巧
命题方向 数列的概念
［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;
(3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…;
(5)6,6,6,6,6.
［分析］ 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.
［解析］ （1）是集合，不是数列；（2）、（3）、（4）、（5）是数列.
其中（3）、（4）是无穷数列，（2）、（5）是有穷数列.
变式应用1 下列说法正确的是( )
A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列
B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列
C. 1,4,2, ， 不是数列
D.数列{2n-3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列
［答案］ D
［解析］由数列的概念知A中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故A、B均不正确，C中显然是数列，D中数列{2n-3}是确定数列，通项公式为an=2n-3，但-1,1,3,5，…前4项符合an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.
命题方向 数列的通项公式
［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式
(1)3,5,9,17,33,…;
(2) ， ， ， ，…；
(3) ,2, ，8， ，…;
(4) ， ， ， ，….
［分析］ 通过观察，找出所给出的项与项数n关系的规律，再写通项公式.
［解析］ (1)通过观察，发现各项分别减去1，变为2,4,8,16,32,…其通项公式为2n，故原数列的一个通项公式为an=2n+1.
(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列{2n}，分母各项分解因式：1•3,3•5，5•7，7•9,…为相邻奇数的乘积，即(2n-1)•(2n+1)，故原数列的一个通项公式为an= .
(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列 , ， ， ， ，…中，分母为2，分子为n2，故an= .
(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n-1；分子的前
一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an= = .
［说明］ 在根据数列的前n项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.
变式应用2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）1，3，7，15，31，…;
（2）1， ， ， ，…；
（3）0.9，0.99，0.999，……， 0. ，….
［解析］ （1）注意观察各项发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为2n,故原数列通项公式为an=2n-1,n∈N+;
（2）调整为 ， ， ， ，它的前几项都是自然数的倒数，∴an= ；
（3）0.9=1－0.1，0.99=1－0.01，0.999=1－0.001，…
∴第n项an=0. =1－0. 1=1－ .
命题方向 数列通项公式的简单应用
［例3］ 在数列｛an｝中通项公式是an＝（-1）n-1• ,写出该数列的前5项，并判断 是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.
［分析］ 由通项公式写出数列的前5项，令an= ,判断是否有正整数解即可.
［解析］ a1=(-1) 0• ＝ ，a2=(-1) 1• ＝－ ，a3=(-1) 2• ＝ .
a4=(-1) 3• ＝－ ，a5=(-1) 4• ＝ .
∴该数列前5项分别为： ，－ ， ，- , .
令(-1) n-1• = 得
n>1且为奇数
8n2-81n+81=0.
∴n=9.所以 是该数列中的第9项.
［说明］ 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.
变式应用3 以下四个数中，哪个是数列{n（n＋1）}中的项（ ）
A. 380 B. 39 C. 32 D.?23
［分析］ 数列{an}的通项公式f(n)=n•(n+1)，对于某个数m，若m是数列{an}中的项，则n•（n+1）=m必有正整数解.若无正整数解，则m肯定不是{an}中的项.
［答案］ A
［解析］ 依次令n(n+1)=23或32或39检验知无整数解.只有n•（n+1）=380有整数解n=19.
探索延拓创新
命题方向 数列的递推公式
［例4］ 在数列{an}中，a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5.
［分析］ 由a1=2，a2=1及递推公式an+2=3an+1-an,依次找出a3,a4,a5,a6即可.
［解析］ 解法一：∵a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,
∴a3=3a2-a1=3×1-2=1,
a4=3a3-a2=3×1-1=2,
a5=3a4-a3=3×2-1=5,
a6=3a5-a4=3×5-2=13,
∴a6+a4-3a5=13+2-3×5=0.
解法二：∵an+2=3an+1-an,
令n=4,则有a6=3a5-a4,∴a6+a4-3a5=0.
［说明］ 递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.
变式应用4 已知数列{an}的首项a1=1,an=2an-1+1(n≥2)，那么a5= .
［答案］ 31
［解析］ 由递推关系式an=2an-1+1和a1=1可得
a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,
a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.
名师辨误做答
［例5］ 已知数列{an}的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{an}的通项公式的有（ ）
①an= ［1+(-1) n+1］;②an=sin2 π，(n∈N+);③an= ［1+(-1) n+1］+(n-1)(n-2);④an= ;
1 (n为偶数)
⑤an=
0 (n为奇数)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
［误解］ D
［辨析］ 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.
［正解］ B 将n=1,2,3,4分别代入验证可知①②④均正确.均可以作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.
课堂巩固训练
一、选择题
1.数列 ， ，2 ， ，…，则2 是该数列的（ ）
A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项
［答案］ B
［解析］ 数列 ， ，2 ， ，…的一个通项公式为an= (n∈N＋),令2 ＝ ,得n=7.故选B.
2.数列0， ， ， ， ，…的通项公式为（ ）
A.an= B.an= C.an= D.an=
［答案］ C
［解析］ 解法一：验证当n=1时，a1=0,排除A、D；当n=2时，a2= ,排除B，故选C.
解法二：数列0， ， ， ， ，…即数列 ， ， ， ， ，…，
∴该数列的一个通项公式为an= ,故选C.
3.数列1，3，6，10，x，21，…中，x的值是（ ）
A.12 B.13 C.15 D.16
［答案］ C?
［解析］ ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,?
x-10=5
∴ , ∴x=15.
21-x=6
二、填空题
4.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,则ak+1= .?
［答案］ 2k+3
［解析］∵an=2n+1,∴ak+1=2(k+1)+1=2k+3.
5.已知数列｛an｝的通项公式an= (n∈N+),则 是这个数列的第 项.?
［答案］ 10
［解析］ 令an= ,即 = ,?
解得n=10或n=-12（舍去）.
三、解答题
6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.?
(1)-1,1,-1,1;?
(2)-3,12,-27,48;?
(3) ， , ， ;?
(4) ， ， ， .?
［解析］ (1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an=(-1) n;
(2)各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42,…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an= (-1) n3n2;
(3)因为 = , = ，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n+2；分子依次为3,4,5,6为序号n+2，故通项公式为an= ;
(4)因为分母3,15,35,63可看作22-1,42-1, 62-1，82-1，故通项公式为an= = .
课后强化作业
一、选择题
1.已知数列 , , , ,…, ,则0.96是该数列的（ ）?
A.第22项 B.第24项 C.第26项 D.第28项
［答案］ B?
［解析］ 因为数列的通项公式为an= ,?由 =0.96得n=24，故选B.
2.已知an=n2+n,那么（ ）
A.0是数列中的项 B.20是数列中的项?
C.3是数列中的项? D.930不是数列中的项
［答案］ B?
［解析］ ∵an=n(n+1),且n∈N+,
∴an的值为正偶数，故排除A、C；
令n2+n=20,即n2+n-20=0,解得n=4或n=-5(舍去).
∴a4=20,故B正确；
令n2+n=930,即（n+31）(n-30)=0.
∴n=30或n=-31(舍去)
∴a30=930,故D错.
3.下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3……，n}）上的函数.
②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.?
③数列的项数是无限的.?
④数列通项的表示式是唯一的.?
其中正确的是（ ）
A.①② B.①②③? C.②③ D.①②③④
［答案］ A
［解析］ 数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例如数列1，0，-1，0，1，0，-1，0……的通项可以是an=sin ，也可以是an=cos 等等.
4.数列2，0，4，0，6，0，…的一个通项公式是（ ）?
A.an= ［1+(-1) n］ B.an= ［1+(-1) n+1］
C.an= ［1+(-1) n+1］ D.an= ［1+(-1) n］
［答案］ B
［解析］ 经验证可知B符合要求.
3n+1(n为奇数)
5.已知数列{an}的通项公式是an= ,则a2a3等于（ ）
2n-2(n为偶数)
A.70 B.28 C.20 D.8
［答案］ C
［解析］ 由通项公式可得a2=2,a3=10,∴a2a3=20.
6.(2012•天津武清区)已知数列{an}的通项公式为an=n2-14n+45，则下列叙述正确的是（ ）
A.20不是这个数列中的项 B.只有第5项是20
C.只有第9项是20? D.这个数列第5项、第9项都是20
［答案］ D?
［解析］ 令an=20,得n2-14n+45=0,解得n=5或n=9,故选D.
7.已知数列 , , ， , ,…,则5 是它的第（ ）?
A.18项 B.19项 C.20项 D.21项
［答案］ D
［解析］ 观察可得{an}的通项公式:an= ,(n∈N+),5 = = ,所以n=21.
8.已知数列{an}对任意的p、q∈N+满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（ ）
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
［答案］ C
［解析］ ∵对任意p、q∈N+都有ap+q=ap+aq.
∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.
二、填空题
9.已知数列 ,3, , ,3 ,…, ,…,则9是这个数列的第 项.
［答案］ 14
［解析］ 数列可写为 , ， ， ， ，…， ,…,?
所以an= ,?令 =9.∴n=14.
10.已知数列{an}中，an+1= 对任意正自然数n都成立，且a7= ，则a5= .
［答案］ 1?
［解析］ 由已知a7= = ,∴a6= .
又∵a6= = ,∴a5=1.
11.已知数列｛an｝的通项公式是an= ,则它的前4项为 .?
［答案］ ， ， ， .?
［解析］ 取n=1,2,3,4,即可计算出结果.
当n=1时，a1= = ,?
当n=2时，a2= = ,?
当n=3时，a3= = ,?
当n=4时，a4= = .
12.下列有四种说法，其中正确的说法是 .?
①数列a,a,a,…是无穷数列；
②数列0,-1,-2,-3,…的各项不可能为正数；
③数列｛f(n)｝可以看作是一个定义域为正整数N+或它的有限子集｛1，2，…，n｝的函数值；
④已知数列｛an｝，则数列｛an+1-an｝也是一个数列.
［答案］ ①④
［解析］ 题中①④显然正确，对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以②不正确，对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N+或它的有限子集｛1，2,…,n｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.
三、解答题
13.根据数列的通项公式，写出它的前4项：?
（1）an= ;?
（2）an= .?
［解析］ (1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,便可得数列｛an｝的前4项为:
a1= ,a2= = ,a3= ,a4= = .?
(2)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,便可得数列｛an｝的前4项为：a1=-1,a2= ,a3=- ,a4= .
14.数列｛an｝的通项公式是an=n2-7n+6.
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始以后各项都是正数？
［解析］ （1）当n=4时，a4=42-4×7+6＝－6.?
（2）令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍)，即150是这个数列的第16项.?
(3)令an=n2-7n+6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起以后各项都是正数.
15.已知数列｛an｝中，a1=2,a17=66,通项公式是项数n的一次函数.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）88是否是数列｛an｝中的项？?
［解析］ （1）设an=an+b,?
∴a1=a+b=2, ①
a17=17a+b=66, ②
②-①得16a=64,∴a=4,b=-2,?
∴an=4n-2(n∈N+).
(2)令4n-2=88，∴4n=90,n= N+(舍去)，
∴88不是数列｛an｝中的项.
16.（1）在数列1, ,3, , ,…中，3 是数列的第几项？
（2）已知无穷数列：1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),…,判断420与421是否为该数列的项？若是，应为第几项？
［解析］ (1)∵a1=1= ,a2= = ,?a3= ,a4= ,
由此归纳得an= = .
令an= =3 ,∴n=12.
故3 是此数列的第12项.?
(2)由an=n(n+1)=420,解得n=20或n=-21（舍去），故420是此数列的第20项.?
由an=n(n+1)=421,得n2+n-421=0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项.?
［说明］ 数列{an}的通项公式为an=f(n)，对于一个数m,若m是此数列中的项，则方程f(n)=m必有正整数解；反之，若f(n)=m无正整数解，则m肯定不是此数列中的项.