2014年中考数学综合性问题试题汇编解析

详细内容

25．（2014•四川内江，第28题，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（?3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．
专题：压轴题；存在型．
分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式．
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
解答：解：（1）如图1，
∵A（?3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（?3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=? x2+ x+4．
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（?3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y= x+ ．
设点P的横坐标为t（?3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP= t+ ，yQ=? t2+ t+4．
∴PQ=yQ?yP=? t2+ t+4?（ t+ ）
=? t2+ t+4? t?
=? t2+ +
=? （t2?2t?15）
=? [（t?1）2?16]
=? （t?1）2+ ．
∵? ＜0，?3≤1≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为 ．
∴线段PQ的最大值为 ．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=? =? = ．
∴xH=xG=xM= ．
∴yG= × + = ．
∴GH= ．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°?∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴ ．
∴ = ．
解得：MH=11．
∴点M的坐标为（ ，?11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5? = ，DG=4? = ，
∴BG=
=
= ．
同理：AG= ．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴ = ．
∴ = ．
解得：MG= ．
∴MH=MG+GH
= +
=9．
∴点M的坐标为（ ，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（ ，9）和（ ，?11）．

点评：本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强．
26．（2014•四川南充，第25题，10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x?1交于A、B两点．点A的横坐标为?3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）由x=0时带入y=x?1求出y的值求出B的坐标，当x=?3时，代入y=x?1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可
（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有 ，可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．
解：（1）∵y=x?1，∴x=0时，y=?1，∴B（0，?1）．
当x=?3时，y=?4，∴A（?3，?4）．
∵y=x2+bx+c与直线y=x?1交于A、B两点，∴ ，∴ ，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x?1；
（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m?1），D（m，m?1）
如图1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=?m．
CD=1?m，OB=1，OC=?m，CP=1?4m?m2，
∴PD=1?4m?m2?1+m=?3m?m2，
∴ ，
解得：m1=0（舍去），m2=?2，m3=? ；
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=?m．
PD=1?4m?m2+1?m=2?4m?m2，
∴ ，
解得：m=0（舍去）或m=?3
∴m=? ，?2或?3时S四边形OBDC=2S△BPD；
（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a?1），则D（a，a?1），
∴AP=m+4，CD=1?m，OC=?m，CP=1?4m?m2，
∴DP=1?4m?m2?1+m=?3m?m2．
在y=x?1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1，
∴CF=1?m．AF=4 ．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD， ，
∴ ，
解得：m=1舍去或m=?2，
∴P（?2，?5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=?3?m，EF=4，AF=4 ，PD=1?m?（1?4m?m2）=3m+m2．
∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴ ，
∴AD= （?3?m）．∵△PAD∽△FEA，∴ ，∴ ，
∴m=?2或m=?3
∴P（?2，?5）或（?3，?4）与点A重合，舍去，
∴P（?2，?5）．


点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．
27．（2014•四川宜宾，第22题，10分）如图，一次函数y=?x+2的图象与反比例函数y=? 的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题
专题：计算题．
分析：（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组 ，然后解方程组即可得到A、B两点的坐标；
（2）先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算．
解答：解：（1）根据题意得 ，解方程组得 或 ，
所以A点坐标为（?1，3），B点坐标为（3，?1）；
（2）把y=0代入y=?x+2得?x+2=0，解得x=2，
所以D点坐标为（2，0），
因为C、D两点关于y轴对称，
所以C点坐标为（?2，0），
所以S△ABC=S△ACD+S△BCD
= ×（2+2）×3+ ×（2+2）×1
=8．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
28．（2014•四川宜宾，第24题，12分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，?1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

考点：二次函数综合题．
分析：（1）待定系数法即可解得．
（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OC=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．
（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m2?1），C（n，n2?1），通过FG∥DH，得出 = ，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，即可求得结论．
解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，?1），
∴b=0，c=?1，
∴抛物线的解析式为：y=x2?1．
（2）△MAB是等腰直角三角形，
由抛物线的解析式为：y=x2?1可知A（?1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OC=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°
∵y轴是对称轴，
∴A、B为对称点，
∴AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形．

（3）MC⊥MF；
分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，
设D（m，m2?1），C（n，n2?1），
∴OE=?n，CE=1?n2，OF=m，DF=m2?1，
∵OM=1，
∴CG=n2，DH=m2，
∵FG∥DH，
∴ = ，
即 =
解得m=? ，
∵ = =?n， = = ，
∴ = ，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MF．
点评：本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
29．（2014•福建福州,第22题14分）
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.
求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标

【答案】（1） ， ， ；（2）证明见解析；（3）（5， 1）；（3，1）或 ..
【解析】
可得 ，即 ，联立二方程解得 或 ，从而得到点Q



（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得 ，


考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.
30．（2014•甘肃白银,第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2?3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．

考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 ，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．
解答：解：（1）抛物线y=x2?3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x?1）2?3，
顶点M（1，?3），
令x=0，则y=（0?1）2?3=?2，
点A（0，?2），
x=3时，y=（3?1）2?3=4?3=1，
点B（3，1）；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴ = = ，
又∵∠BAM=180°?45°×2=90°，
∴tan∠ABM= = ；

（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x?1）2?3=x2?2x?2，
∴设点P（x，x2?2x?2），
①点P在x轴的上方时， = ，
整理得，3x2?7x?6=0，
解得x1=? （舍去），x2=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②点P在x轴下方时， = ，
整理得，3x2?5x?6=0，
解得x1= （舍去），x2= ，
x= 时，x2?2x?2=? × =? ，
∴点P的坐标为（ ，? ），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（ ，? ）．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论．
　31．（2014•甘肃兰州,第28题12分）如图，抛物线y=? x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

考点：二次函数综合题
分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，? a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答：解：（1）∵抛物线y=? x2+mx+n经过A（?1，0），C（0，2）．
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=? x2+ x+2；

（2）∵y=? x2+ x+2，
∴y=? （x? ）2+ ，
∴抛物线的对称轴是x= ．
∴OD= ．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD= ．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（ ，4），P2（ ， ），P3（ ，? ）；

（3）当y=0时，0=? x2+ x+2
∴x1=?1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=? x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，? a+2），F（a，? a2+ a+2），
∴EF=? a2+ a+2?（? a+2）=? a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BD•OC+ EF•CM+ EF•BN，
= + a（? a2+2a）+ （4?a）（? a2+2a），
=?a2+4a+ （0≤x≤4）．
=?（a?2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大= ，
∴E（2，1）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

32．（2014•广州,第24题14分）~已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线 （ ）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．
（3）若 ，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（ ）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为 、 ，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、 、 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法
(2)存在性问题,相似三角形;
(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短
【答案】(1)解:依题意把 的坐标代入得: ;解得:
抛物线解析式为
顶点横坐标 ,将 代入抛物线得

(2)如图,当 时,设 ,
则
过 作直线 轴,


(注意用整体代入法)
解得
,
当 在 之间时，
或 时， 为钝角.
(3)依题意 ，且
设 移动 （ 向右， 向左）

连接
则
又 的长度不变
四边形周长最小，只需 最小即可
将 沿 轴向右平移5各单位到 处
沿 轴对称为
∴当且仅当 、B、 三点共线时， 最小，且最小为 ，此时
，设过 的直线为 ，代入
∴ 即
将 代入，得： ，解得：
∴当，P、C向左移动 单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

33．（2014•广州,第25题14分）如图7，梯形 中， ， ， , ， ，点 为线段 上一动点（不与点 重合）， 关于 的轴对称图形为 ，连接 ，设 ， 的面积为 ， 的面积为 ．
（1）当点 落在梯形 的中位线上时，求 的值；
（2）试用 表示 ，并写出 的取值范围；
（3）当 的外接圆与 相切时，求 的值．
【答案】解：（1）如图1， 为梯形 的中位线，则 ，过点 作 于点 ，则有：
在 中，有
在 中，
又
解得：
（2）如图2， 交 于点 ， 与 关于 对称，
则有： ，
又

又 与 关于 对称，

（3）如图3，当 的外接圆与 相切时，则 为切点.
的圆心落在 的中点，设为
则有 ，过点 作 ，
连接 ，得
则
又

解得： （舍去）


① ② ③

34．（2014•广东梅州,第23题11分）如图，已知抛物线y= x2? x?3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．
分析：（1）令y=0，解方程 x2? x?3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=?3，可确定C点坐标；
（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；
（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．
解答：解：（1）∵y= x2? x?3，
∴当y=0时， x2? x?3=0，
解得x1=?2，x2=4．
当x=0，y=?3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（?2，0），C点坐标为（0，?3）；

（2）∵y= x2? x?3，
∴对称轴为直线x= =1．
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，
∵C点坐标为（0，?3），
∴M点坐标为（2，?3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．
当y=4时， x2? x?3=3，
解得x1=1+ ，x2=1? ，
∴M点坐标为（1+ ，3）或（1? ，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，?3）或（1+ ，3）或（1? ，3）；

（3）结论：存在．
如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，
∴P1（?2，0）．
∵P1A=6，BC=2，
∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，?3），
∴直线AB的解析式为y= x?6，
∴可设直线CP2的解析式为y= x+n，
将C点坐标（0，?3）代入，得b=?3，
∴直线CP2的解析式为y= x?3．
∵点P2在抛物线y= x2? x?3上，
∴ x2? x?3= x?3，
化简得：x2?6x=0，
解得x1=0（舍去），x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，
∴P2（6，6）．
∵AB∥CP2，AB≠CP2，
∴四边形ABCP2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（?2，0）或（6，6）．
　　　　　

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．