二元一次方程组

详细内容

§2.6二元一次方程组
教学目标:
一、知识与技能：
能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
二、方法与过程
回顾矩阵的求逆公式，发现二元一次方程组矩阵解法，探究行列式为零时方程组的解，充分利用类比的思想方法。
三、情感、态度与价值观
通过新旧知识的联结，增强学生的问题意识及进一点探索的乐趣，体会数学的内在联系。教学重点:用系数矩阵的逆矩阵解二元一次方程组
教学难点：从几何意义上说明线性方程组解的存在性、唯一性
教学过程
一、复习引入：
1、设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点 先用变换A变到 ，再用变换B将 变到 ，则从 到 也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。
2、A＝ 和B＝ 　　BA＝ ＝
3、设A＝ ，记 ＝ 。则（1）A可逆的充分必要条件是： 0
（2）当 0时，A ＝
4、如果A，B都可逆，则AB可逆，且（AB） ＝B A
二、新课讲解
任何一个二元一次方程组 都可以写成矩阵式 ＝
假如记A＝ ，X＝ ，B＝ ，则方程组具有形式AX＝B
其中A称为系数矩阵，detA称为系数行列式。如果detA 0，则A可逆，可根据求逆公式求出A
三、例题解析
例1、解二元一次方程组
解方程组可写为 ＝
系数行列式detA＝1，方程组有唯一解
利用矩阵求逆公式得 ＝ ，因此原方程组的解为
＝ ＝
即
例2、已知矩阵A＝ ，A决定的线性变换A将哪一个点变到（7,9）
解：设A将点（ ）变到（7,9），则 ＝
由例1的计算结果知道此方程组的解为 所求的点为（3，-1）
例3、解下列方程组
（1） 　　　　　　（2）
解：（1）系数行列式detA＝0
第一个方程×3?第2个方程×2，得0＝13，无解
（2）系数行列式仍为0，仍将第一个方程×3?第2个方程×2，得0＝0。说明两个方程的所有的系数成比例，两个方程实际上是同一个方程。其中一个的解就是另一个的解。
将 作为已知数，从第1个方程中解出 ，任取 代入，得到 ，原方程组的解为 ，其中 可以任意取值。因此，原方程有无穷多解。
引申：系数矩阵A不可逆，代表的变换A也不可逆，A将 （ ）变到 （ ， ），使
＝ ＝ + 。其中 与 平行，它们的线性组合全部与 平行，以这些线性组合为坐标的点全部在过原点的一条直线 上， ＝｛（6 ，9 ）｜ ｝，整个平面被变换A变到直线
第（1）小题的常数项（9,7）对应的点不在 上，不是变换A的像，因此方程无解。
第（1）小题的常数项（4,6）对应的点正好在 上，因此方程组有解，并且有无穷多组解。所有这此解对应的点（ ， ）组成一条直线 ，整个这条直线被变换A变到同一个点。
假定方程组 中 不全为0，但系数行列式 ＝0，则用加减消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得到的方程形如0＝ 。如果 0，方程组无解。如果 ＝0，任何一个一次项系数不全为0的方程的全部解都是方程组的全部解，方程有无穷多组解。
例4、 取什么值时，方程组 有至少两组解，并在此时求出全部解。
解两个方程的常数项都是为0，方程组至少有一组解 ，如果系数行列式不为0，则方程组只有一组解，要有至少两组解，系数行列式必须等于0。即 ，
当 ＝1时，方程组成为 解为 ， 取任意值
当 时，方程组成为 解为 ， 取任意值
三、课堂练习
1、利用逆矩阵解二元一次方程组
2、已知二元一次方程组AX＝B，A＝ ，B＝ ，试从几何变换角度研究方程组解的情况
3、设三条直线 ， ， 中两条直线平行，求 。
四、小结
1、任何一个二元一次方程组 都可以写成矩阵式 ＝
假如记A＝ ，X＝ ，B＝ ，则方程组具有形式AX＝B
其中A称为系数矩阵，detA称为系数行列式。如果detA 0，则A可逆，可根据求逆公式求出A
X＝A B
2、假定方程组 中 不全为0，但系数行列式 ＝0，则用加减消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得到的方程形如0＝ 。如果 0，方程组无解。如果 ＝0，任何一个一次项系数不全为0的方程的全部解都是方程组的全部解，方程有无穷多组解。
五、课后作业：
课本61页　　习题6
教学反思：