解三角形

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第二章解三角形章末测试

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一、选择题(本大题共10小题，第小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)
1．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC= ，则A= （ ）
A B C D
解:cosA= A=
答案：A
2．在 中, , ，则 等于（　　　）
（Ａ） 或 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）以上都不对
解： sinB= = = B= 或 （不合）
答案：C
3．三角形两边分别为5和3，他们夹角的余弦是方程5x -7x-6=0的根，则三角形的面积是（ ）
A. 12 B. 6 C. 24 D. 4
解：方程5x -7x-6=0的根为- 或2，余弦值为- ，则正弦值为 。则三角形的面积为 =6
答案：B
4 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 ( )
A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得 ×a=c，∴a=b
答案：C
5.在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
① ②
③ ④
其中成立的个数是 ( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
解： sinA：sinB：sinC＝ ①正确，②错误。又 △ABC周长为7.5cm
且 ，③正确，④错误
答案：C
6.已知△ABC的三边长分别是2m+3,m +2m, m +3m+3(m>0),则最大内角的度数是（ ）
A. 150 B. 120 C. 90 D. 135
解：依题意可知m +3m+3所对的角为最大角，设为 ，则cos =- , 120
答案：B
7在△ABC中，b=asinC,c=acosB,则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
解：由c=acosB得c=a , a △ABC直角三角形 b=asinC=a =c
△ABC等腰直角三角形
答案：D
8 在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
A b=20，A=45°，C=80°B a=30，c=28，B=60°
C a=14，b=16，A=45°D a=12，c=15，A=120°
解：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得 = ，所以sinB= 因而B有两值
答案：C
9．在△ABC中，已知 ， ，B= ，则 （ ）
A 2 B C D
解：由 得sinC= ca =2+1-2 (- )=2+ , a=
答案：B
10 △ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面积为 ，那么b等于 ( )
A B 1+ C D 2+
解：∵2b=a+c 平方得a2+c2=4b2－2ac
又△ABC的面积为 ，且∠B=30°，
故由S△ABC= acsinB= acsin30°= ac= ，得ac=6 ∴a2+c2=4b2－12
由余弦定理，得cosB= = = = ，
解得b2=4+2 又b为边长，∴b=1+
答案：B
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．）
11 已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______
解：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc
∴ = ∴∠A=
答案：
12．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝ .
解：由tanB＝1，tanC＝2，得sinB= ,sinC= ,由 得c=40
答案：40
13 在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______
解：若c是最大边，则cosC＞0 ∴ ＞0，∴c＜
又c＞b－a=1，∴1＜c＜
答案：（1， ）
14 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S= （a2+b2－c2），则∠C的度数是_______
解：由S= （a2+b2－c2）得 absinC= •2abcosC ∴tanC=1 ∴C=
答案：45°
15 在△ABC中，若∠C=60°，则 =_______
解： = = （*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab ∴a2+b2=ab+c2
代入（*）式得 =1
答案：1
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.在△ABC中，若sinA＝sinB＋sinosB＋cosC ，试判断△ABC的形状.
解：∵sinA＝sinB＋sinosB＋cosC ，∴cosB＋cosC＝sinB＋sinCsinA ，
应用正、余弦定理得a2＋c2－b22ac ＋a2＋b2－c22ab ＝b＋ca ，
∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），
∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）
即a2＝b2＋c2
故△ABC为直角三角形.
17如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定 MNP=120
（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解法一
（Ⅰ）依题意，有 ， ，又 ， 。
当 是，
又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN= ，则0°< <60°
由正弦定理得
,
故

0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得 ∠MNP=
即
故
从而 ，即
当且仅当 时，折线段道MNP最长
18. 在 中，内角 对边的边长分别是 ,已知 .
(1)若 的面积等于 ，求 ， ；
(2)若 ，求 的面积.
解（1）由余弦定理及已知条件得， ，
又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ．
联立方程组 解得 ， ．
（2）由题意得 ，即 ，
当 时， ， ， ， ，
当 时，得 ，由正弦定理得 ，
联立方程组 解得 ， ．
所以 的面积 ．
19.如图，在海岸A处，发现北偏东45 方向距A为（ ）n mile的B处有一艘走私船。在A处北偏西75°方向，距离A为2 n mile的C处的我方缉私艇奉命以

向北偏东30°方向逃窜。问：缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短时间内追上走私船？并求出所需时间。

解：设缉私艇追上走私船需t h，由余弦定理，得：


由正弦定理，得：

∴∠ABC＝45°
向A点的正北方向作直线，交BC于E点
则在△AEB中，可得∠AEB＝90°
则可知C处恰在B处的正西方



答：
20 已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为
（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值
解：（1）由2 （sin2A－sin2C）=（a－b）•sinB
得2 （ － ）=（a－b）
又∵R= ，∴a2－c2=ab－b2 ∴a2+b2－c2=ab ∴cosC= =
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin（120°－A）
=2 sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+ sin2A
= sin2A－ sin2Acos2A+ = sin（2A－30°）+
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=