平面的基本性质教案

详细内容

1.2.1 平面的基本性质（3）
教学目标
1、知识与能力：
（1）巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论．
（2）能使用公理和推论进行解题．
2、过程与方法：
（1）体验在空间确定一个平面的过程与方法；
（2）掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感态度与价值观：
培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。
教学重点
平面的三条基本性质即三条推论．
教学难点
准确运用三条公理和推论解题．
教学过程

一、问题情境
问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？
问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面．
．
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理 4（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行．
把以上各公理及推论进行对比：
公理或推论图形语言符号语言作用
公理1
判定直线是否
在平面内
公理2
判定两个平面
是否相交
公理3 点A,B,C不共面 点A,B,C确定一个平面确定一个平面
推论1 点C与直线a
确定一个平面确定一个平面
推论2 直线a与直线b确定一个平面确定一个平面
推论3 直线a与直线b确定一个平面确定一个平面
公理4
判断两线平行
三、数学运用
基础训练：（1）已知： ；求证：直线AD、BD、CD共面．

证明：
――公理3推论1


――公理1
同理可证， ,
直线AD、BD、CD共面
【解题反思1】1。逻辑要严谨
2．书写要规范
3．证明共面的步骤：
（1）确定平面――公理3及其3个推论
（2）证线“归” 面（线在面内如： ）――公理1
（3）作出结论。

变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面？（口答）
变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？
变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？（口答）

（2）已知直线 满足： ；求证：直线

证明：
――公理3推论3




――公理1

直线 共面

提高训练：已知 ，求证： 四条直线在同一平面内．

思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。
证明：
――公理3推论3

――公理3推论3




――公理1
因此，平面 同时经过两条相交直线
所以平面 重合。――公理3推论2
直线 共面

上面方法称为同一法

拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3；求证：EF、GH、BD交于一点．[渗透空间问题平面化思想]

思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线――第三条直线上，因此证得三线共点。

证法1：连接 ，
因 E、G分别是BC、AB的中点，故
因DF:FC=DH:HA=2:3,故
――公理4
共面，由上知， 相交，设交点为O,则 平面 , 平面 ,
所以 直线
所以EF、GH、BD交于一点。

思路2：首先证明直线 GH、BD交于一点P,直线EF 、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。
证法法2：提示：过点H作HO,使得 ,交点为O，连接OF，证明 ,
延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ.所以点P、Q重合。

链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状．

【解题反思2】1。逻辑要严谨
2．书写要规范
3．方法要掌握
（1）证明共面的步骤：
1）确定平面――公理3及其3个推论――公理3及3个推论
2）证线“归” 面（线在面内如： ）――公理1
3）作出结论。
（2）证明共线的步骤：
①证所有点在第一个面内（如平面 ）――公理1
②证所有点在第二个面内（如平面 ） ――公理1
③结论1：所有点在两个平面的交线上
④结论2：所有点共线――公理2
（3）证明共点的步骤：
1）证交于一个点――公理3及3个推论
2）证此点在二个面内（如平面 ） ――公理1
3）结论1：此点在两个平面的交线上――――――公理2
4）结论2：三条线共点
四、回顾小结
本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．

五、课外作业(见所发的前置作业)

反馈练习
[ 1.2.1 平面的基本性质（2）]
1、经过同一直线上的3个点的平面（ ）
A、有且只有1个 B、有且只有3个 C、有无数个 D、有0个
2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
A、1或2 B、2或3 C、1或3 D、1或2或3
3、与空间四点距离相等的平面共有（ ）
A、3个或7个 B、4个或10个 C、4个或无数个 D、7个或无数个
4、四条平行直线最多可以确定（ ）
A、三个平面 B、四个平面 C、五个平面 D、六个平面
5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有 个．
6、给出以下四个命题：
①若空间四点不共面，则其中无三点共线；
②若直线l上有一点在平面 外，则l在 外；
③若直线 、 、 中， 与 共面且 与 共面，则 与 共面；
④两两相交的三条直线共面．
其中所有正确的命题的序号是 ．
7．点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表示为（ ）
A． B． C． D．
8．下列推理，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下面是四个命题的叙述语（其中A、B表示点， 表示直线， 表示平面）
① ②
③ ④
其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．
10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面．

11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．
已知：直线 、 、 且 ， ， ；
求证：直线 、 、 共面．

12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
①AA1与1能否确定一个平面？为什么？
②点B、C1、D能否确定一个平面？为什么？
③画出平面A1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线．

13、两两相交且不共点的四条直线共面．（注：有两种情形，见图，试分别证之）