2012届高考数学导数的概念及运算第一轮基础知识点复习教案

详细内容

第三编 导数及其应用

§3.1 导数的概念及运算

1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则 为 .
答案 Δx+2
2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f′(x)= .
答案 cos2x+cosx
3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）.
①af(b)＞bf(a)②af(a)＞bf(b)
③af(a)＜bf(b)④af(b)＜bf(a)
答案 ①③④
4.（2008•辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是 ，则点P横坐标的取值范围为 .
答案
5.(2008•全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .
答案 2

例1 求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解 ∵Δy=
=
= ，
∴ = .
例2 求下列各函数的导数：
（1）y= ；
（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；
（3）y=-sin (1-2cos2 )；
（4）y= + .
解 （1）∵y= =x +x3+ ，
∴y′=（x ）′+(x3)′+(x-2sinx)′
=- x +3x2-2x-3sinx+x-2cosx.
(2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）
=x3+6x2+11x+6，
∴y′=3x2+12x+11.
方法二
y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′
=［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）
=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）
=3x2+12x+11.
（3）∵y=-sin (-cos )= sinx，
∴y′=( sinx) ′= （sinx）′= cosx.
（4）y= + = = ，
∴y′=( )′= = .
例3 求下列函数的导数：
（1）y= ;
(2)y=sin2(2x+ );
(3)y=x .
解 （1）设u=1-3x,y=u-4.
则y x′=y u′•ux′=-4u-5•（-3）= .
(2)设y=u2,u=sinv,v =2x+ ,
则y x′=y u′•u v′•v x′=2u•cosv•2
=4sin •cos
=2sin .
(3)y′=(x )′
=x′• +x•（ )′
= + = .
例4 （14分）已知曲线y= x3+ .
(1)求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 （1）∵y′=x2,
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4.3分
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.6分
（2）设曲线y= x3+ 与过点P（2，4）的切线相切于点
A(x0， x03+ )，则切线的斜率
k=y′| =x02.8分
∴切线方程为y-( x03+ )=x02(x-x0),
即y=x02•x- x03+ .10分
∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02- x03+ ,
即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,
∴x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14分

1.求y= 在x=x0处的导数.
解 =
=
= ，
当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于 ,
∴f′(x0)= .
2.求y=tanx的导数.
解 y′= =
= = .
3.设函数f（x）=cos（ x+ ）（0＜ ＜ ）.若f(x)+f′(x)是奇函数,则 = .
答案
4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .
答案 2或-

一、填空题
1.若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时 = .
答案 -1
2.（2008•全国Ⅰ理，7）设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= .
答案 -2
3.若点P在曲线y=x3-3x2+(3- )x+ 上移动，经过点P的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是 .
答案
4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 .
答案 5x+y-2=0
5.（2009•徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 .
答案 （1，0）
6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条.
答案 3
7.曲线y= 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .
答案
8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是 .
答案
二、解答题
9.求下列函数在x=x0处的导数.
（1）f（x）=cosx•sin2x+cos3x，x0= ；
（2）f（x）= ，x0=2；
（3）f（x）= ，x0=1.
解 （1）∵f′(x)=［cosx(sin2x+cos2x)］′
=(cosx)′=-sinx,
∴f′（ ）=- .
(2)∵f′(x)=
=
= ,∴f′(2)=0.
(3)∵f′(x)=(x )′-x′+(lnx)′=- x -1+ ,
∴f′(1)=- .
10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.
解 设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y′| =
= | = =2.
解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），
点P到直线2x-y+3=0的距离为 ,
∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .
11.（2008•海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f(x)=ax+ （a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
(1)解 f′(x)=a- ,
于是
解得 或
因为a,b∈Z,故f(x)=x+ .
(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+ ）,
由f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为
y- = (x-x0).
令x=1,得y= ,
切线与直线x=1的交点为 ;
令y=x,得y=2x0-1,
切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),
从而所围三角形的面积为
|2x0-1-1|= |2x0-2|=2.
所以,所围三角形的面积为定值2.
12.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.①
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0.②
∴f（x）=ax4+cx2+1.
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，
∴可得切点为（1，-1）.
∴a+c+1=-1.③
∵f′（1）=（4ax3+2cx）|x=1=4a+2c，
∴4a+2c=1. ④
由③④得a= ，c=- .
∴函数y=f（x）的解析式为f（x）= x4- x2+1.