等差数列与等比数列

详细内容

等差数列与等比数列

【复习目标】
掌握等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。
【课前热身】
1．如果 ， ，…， 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则 ( )
A． B． C． + + D． =
2．已知 ?9 ,a1 ,a2 ,?1这四个数成等差数列,?9, b1 ,b2 ,b3,?1这5个数成等比数列,则 等于 （ ）
A．-8 B．8 C．8或-8 D．
3．设Sn是等差数列 的前n项和，若 （ ）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 = （ ）（浙江文理）
A ?4 B ?6 C ?8 D ?10
5. (2005年杭州二模题)已知 成等差数列, 成等比数列,则椭圆 的准线方程为 _______ _ .
【例题探究】
1、已知数列 为等差数列，且 (05湖南)
（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）证明

2、设数列
记
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；

3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取 ）

【方法点拨】
1．本题的关键在于指数式和对数式的互化在数列中的应用。
2．数列通项公式和递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应掌握.
3．例3是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.

冲刺强化训练（12）
1．已知等差数列 满足 则有 ( )
A. B. C. D.
2在正数等比数列中已知 则 （ ）
A．11 B．10 C．8 D．4
3．设数列 是等差数列，且 ， 是数列 的前 项和，则（ ）
A． B． C． D．
4．在各项都为正数的等比数列 中首项 ，前三项和为21，则 ( )
A．33B．72C．84D．189
5．设数列 的前 项和为 （ ）. 关于数列 有下列三个命题：
（1）若 既是等差数列又是等比数列，则 ；
（2）若 ，则 是等差数列；
（3）若 ，则 是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是 .

6、在等差数列 中 ， ，等比数列 中，
， ，则

7．设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 （湖南理）

8．已知 ， 都是各项为正数的数列，对任意的正整n,都有 成等差数列，
等比数列。
（1）求证： 是等差数列；
（2）如果 ， ， 。

9．设⊙C¬1,⊙C¬2,……,⊙是圆心在抛物线 上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为 。已知 ， 。若⊙C¬k (k=1,2,3, ……,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。
（1）求证： 是等差数列 （2）求 的表达式；
（3）求证：

参考答案
【课前热身】
1．B 2，A 3，A 4，B
5、y=±22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要注意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=±a2c=±22.
【例题探究】
1, （I）解：设等差数列 的公差为d.
由 即d=1.
所以 即
（II）证明因为 ，
所以

2, 解：（I）
　（II）因为 ,所以
所以
猜想： 是公比为 的等比数列.
证明如下：因为


所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.
3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利： （万元）
银行贷款本息： （万元）
故甲方案纯利： （万元）
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和：
（万元）
故乙方案纯利： （万元）； 综上，甲方案更好.

冲刺强化训练(12)
1．C 2．A 3．B 4．C 5．（1）、（2）、（3）
6．解：


点评：此题也可以把 和d 看成两个未知数，通过 列方程，联立解之d= 。再求出 但计算较繁，运用 计算较为方便。
7．
8．解：（1）证明： 成等差数列， 。
成等比数列， ， 即 ，
， ， 成等差数列。
（2）解： 　而 ，
　　 ，

）
9．解：（1）由题意知：⊙ ： ，⊙ ：
， ，
,　两边平方，整理得

是以 为首项，公差为2的等差数列
（2）由（1）知，
（3）
），