2011届高考数学极值04

详细内容

教案4：导数的应用（2）--极值

一、课前检测
1. 函数 , 已知 在 时取得极值, 则 的取值是( )
A. 2 B. 3C. 4 D. 5
答案：D
2. 函数y=x-sinx, 的最大值是( )
A. -1 B. -1 C. D. +1
答案：C
3. 已知 = ，当 [－1，2]时， 恒成立，则实数 的取值范围是______.
答案：
二、知识梳理
可导函数的极值
⑴ 极值的概念
设函数 在点 附近有定义，且对 附近的所有点都有 （或 ），则称 为函数的一个极大（小）值．称 为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：
① 求导数 ；
② 求方程 ＝0的 ；
③ 检验 在方程 ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝ 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝ 在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝ 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝ 在(a ,b )内有导数，则函数y＝ 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y＝ 在(a ,b )内的 值；
② 将y＝ 的各 值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递增，则 为函数的 ， 为函数的 ；若函数y＝ 在[a ,b ]上单调递减，则 为函数的 ， 为函数的 .
三、典型例题分析
例1．函数y=1+3x－x3有（ ）
A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3
解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.
令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时, y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.
∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3.
答案：D
变式训练1：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x= 时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；?
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得 =3x2+2ax+b,?
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①?
当x= 时，y=f(x)有极值，则 =0,可得4a+3b+4=0 ②?
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.?
∴1+a+b+c=4.∴c=5.?
（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴ =3x2+4x-4,?
令 =0,得x=-2,x= .?
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x-3(-3,-2)-2 1
y′+0-0+
y8单调递增
ㄊ13单调递减
ㄋ 单调递增
ㄊ4
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

例2．（2006.北京）已知函数 在点x0处取得
极大值5,其导数y= 的图象经过点(1,0),(2,0)（如图所示）。
求: (1) x0的值; (2) 的值.
评析与简答: 本题凸显了对同学们读图、识图以及捕捉图形信息能力的考查。（1）由 的图像与x轴的交点为 立判在x=1的两侧导数值“左正右负”且 ①，所以 ；（2）导函数图像还可得 ②，再加f(1）=5③，解①②③联立的方程组，得 、b=－9、c=12（利用根系关系亦可）。
变式训练：（2008福建）设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是( )

A B C D
答案：C

例3．已知函数 的
图像如图所示。
(1)求 的值；
(2)若函数 在 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；
（3）若 =5，方程 有三个不同的根，求实数 的取值范围。
答案：（1） ；（2） （3）
变式训练：已知x∈R,求证：ex≥x+1.
证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1.
∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0.
当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.∴f（x）＞f（0）=0.
当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0.
∴对x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：