2013-2014长春十一中高一数学下学期期末试卷（理科带答案）
详细内容
2013-2014长春十一中高一数学下学期期末试卷（理科带答案）
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间120分钟。
第一部分（选择题）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝45°，则B等于( )
A．45° B．30° C．60° D．30°或150°
2．已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
3．已知 、 ， 、 、 、 成等差数列， 、 、 、 成等比数列，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
4．设 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
5．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
6．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中真命题的个数是( )
A． B． C． D．
7.如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:
①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是 ( )
A． B． C． D．
8. 直线 ， 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
9.直线 过点 ，且与 、 轴正半轴围成的三角形的面积等于 的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．方程 表示的图形是半径为 （ ）的圆，则该圆 圆心在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．．第三象限 D．第四象限
11.侧棱和底面垂直的三棱柱 的六个顶点都在球 的球面上，若 ， ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都等于 ，若A1在底面ABC内的射影为
△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题）
二、填空题（每题4分，共16分）
13．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
14.在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相交于 ， 两点，则弦 的长等于________．
15.如图， 是二面角 的棱 上一点，分别在 、 上引射线 、 ，截 ，如果∠ ∠ ，∠ ，则二面角 的大小是___________.
16.设三棱锥 的顶点 在平面 上的射影是 ，给出下列命题：
①若 ⊥ ， ⊥ ，则 是△ 的垂心；
②若 、 、 两两互相垂直，则 是△ 的垂心；
③若∠ ， 是 的中点，则 ；
④若 ，则则 是△ 的外心.
请把正确命题的序号填在横线上:______________.
三、解答题（本大题共4小题，共44分）
17．(本小题满分10分)
已知正常数a、b和正变数x、y，满足a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
18．(本小题满分10分)
等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1bn}的前n项和．
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，
底面 为正方形， ， ， 分别是 ，
的中点．
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求证： ；
(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.
20．(本小题满分12分)
如图，四棱锥 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(Ⅰ) 求证：平面AEC⊥平面PDB；
(Ⅱ) 当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
附加题（10分）（计入总分）：
如图，空间四边形 的对棱 、 成 的角，且 ，平行于 与 的截面分别交 、 、 、 于 、 、 、 ． 在 的何处时截面 的面积最大？最大面积是多少？
长春市十一高中2013-2014学年度高一数学下学期期末考试答案
一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分）
123456789101112
BADBCBADDC
二、填空题（本题共4个小题。每小题4分，共16分）
13．；10 14．23 ； 15 90° ； 16．①②③④；
三、 解答题（总分44分）
17．(本小题满分10分)．
解：x＋y＝(x＋y)•1＝(x＋y)•(ax＋by)＝a＋b＋ayx＋bxy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，
等号在ayx＝bxy即yx＝ba时成立，∴x＋y的最小值为(a＋b)2＝18，--------5分
又a＋b＝10，
∴ab＝16.∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.-------10分
18．(本小题满分10分)
解： (1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6，得a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q>0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.---------5分
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.
故1bn＝－2nn＋1＝－2(1n－1n＋1)，1b1＋1b2＋…＋1bn＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝－2nn＋1.所以数列{1bn}的前n项和为－2nn＋1.------------------10分
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）证明： 分别是 的中点，
20．(本小题满分12分)
解：(1)证明 ∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.-------------------6分
(2)解 设AC∩BD＝O，连接OE.
由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．
∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝12PD.
又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.
在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AEO＝45°.
即AE与平面PDB所成的角为45°-------------------12分.
附加题（10分）（计入总分）：
解： 与 成 角， 或 ，设 ， ， ， ，由 ，得 ．
．当 时， ，即当 为 的中点时，截面的面积最大，最大面积为 ．