2014年白鹭洲中学高一数学下第三次月考试卷（含详解）
详细内容
2014年白鹭洲中学高一数学下第三次月考试卷（含详解）
考生注意：
试卷所有答案都必须写在答题卷上。
答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
考试时间为120分钟，试卷满分为150分。
一、选择题：（本大题共有10 题，每 题5分，共50分）
1. 下列语句中，是赋值语句的为（ ）
A. m+n=3 B. 3=iC. i=i²+1 D. i=j=3
解：根据题意，
A：左侧为代数式，故不是赋值语句
B：左侧为数字，故不是赋值语句
C：赋值语句，把i2+1的值赋给i．
D：为用用两个等号连接的式子，故不是赋值语句
故选C．
2. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（ ）
A.M>NB. M
=（a1-1）（a2-1）＞0，
故M＞N，
故选B．
3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（ ）
A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定
B．X甲 >X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定
D．X甲 >X乙；乙比甲成绩稳定
解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；
乙的成绩分别为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，
则易知X甲＜X乙；
从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，
乙比甲成绩稳定．
故选A．
4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（ ）
A. B. C. D.
解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=12，再把a的值赋给变量b，这样b=5，
把c的值赋给变量a，这样a=12．
故选：D
5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（ ）
A. 20,15,15 B. 20,16,14 C. 12,14,16 D. 21,15,14
解：系统抽样的分段间隔为 =10，
在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，
则分别是003、013、023、033构成以3为首项，10为公差的等差数列，
故可分别求出在001到200中有20人，
在201至355号中共有16人，则356到500中有14人．
故选：B．
6. 如图给出的是计算 + + +…+ 的值的一个框图，
其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A. i>10B. i<10
C. i>11D. i<11
解：∵S= + + +…+ ，并由流程图中S=S+
循环的初值为1，
终值为10，步长为1，
所以经过10次循环就能算出S= + + +…+ 的值，
故i≤10，应不满足条件，继续循环
所以i＞10，应满足条件，退出循环
判断框中为：“i＞10？”．
故选A．
7.设a、b是正实数， 给定不等式：① ＞ ；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+ ＞2，上述不等式中恒成立的序号为（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
解：∵a、b是正实数，
∴①a+b≥2 ⇒1≥ ⇒ ≥ ．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；
②a+b＞|a-b|⇒a＞|a-b|-b恒成立；
③a2+b2-4ab+3b2=（a-2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=1，b=2时，左边=5，右边=4×1×2-3×22=-4∴③不恒成立；
④ab+ ≥ =2 ＞2恒成立．
答案：D
8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则a＋b2cd＝x＋y2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案 D
9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB的最小值为（ ）
A. B.-1C. D.1
解：∵a、b、c，成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB= = ≥ = ．
∴cos2B+2cosB=2cos2B+2cosB-1
=2（cosB+ ）2- ，
∴当cosB= 时，cos2B+2cosB取最小值2- ＝ ．
故选C．
10. 给出数列 ， ， ， ， ， ，…， ， ，…， ，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（ ）
A.4900B.4901C.5000D.5001
解：值等于1的项只有 ， ， ，…
所以第50个值等于1的应该是
那么它前面一定有这么多个项：
分子分母和为2的有1个：
分子分母和为3的有2个： ，
分子分母和为4的有3个： ， ，
…
分子分母和为99的有98个： ， ，…，
分子分母和为100的有49个：， ，…， ，…， ．
所以它前面共有（1+2+3+4+…+98）+49=4900
所以它是第4901项．
故选B．
二、填空题：（本大题共有5 题，每 题5分，共25分）
11. 已知x、y的取值如下表：
x0134
y2.24.34.86.7
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=0.95x+a，则a=
解：点( ， )在回归直线上，
计算得 ＝2， ＝4.5；
代入得a=2.6；
故答案为2.6．
12. 已知函数f（x）＝ ，则不等式f（x）≥x2的解集是
解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2-x-2≤0，解得，-1≤x≤2，∴-1≤x≤0；
②当x＞0时；f（x）=-x+2，∴-x+2≥x2，解得，-2≤x≤1，∴0≤x≤1，
综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：[-1,1].
13. 如果运行下面程序之后输出y的值是9，则输入x的值是
输入 x
If x＜0 Then
y=（x+1）*（x+1）
Else
y=（x-1）*（x-1）
End if
输出 y
End
解：根据条件语句可知是计算y=
当x＜0，时（x+1）（x+1）=9，解得：x=-4
当x≥0，时（x-1）（x-1）=9，解得：x=4
答案:-4或4
14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（ b-c）cosA=acosC，则cosA=
解：由正弦定理，知
由（ b-c）cosA=acosC可得
（ sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
∴ sinBcosA=sinAcosC+sinosA
=sin（A+C）=sinB，
∴cosA= ．故答案为：
15. 设a+b=2，b＞0，则 + 的最小值为
解：∵a+b=2，∴ ＝1，
∴ + = + + ，
∵b＞0，|a|＞0，∴ + ≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），
∴ + ≥ +1，
故当a＜0时， + 的最小值为 ．
故答案为： ．
三、解答题 （本大题共有6 题，共75 分）
16. 已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的解集为非空集{x|n＜x＜5}
（1）求实数m和n的值
（2）求关于x的不等式loga（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．
解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）
（3分）
（1分）
（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增
由loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得x2+3x-3＞1（2分）
即 x2+3x-4＞0
x＞1 或 x＜-4（1分）
2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减
由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得： （2分）
即 （1分）（1分）
∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时原不等式的解集为： （1分）
17. 某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值作为代表（例如区间[70，80）的中点值是75），试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y
由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12
则x2=12y，又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9
∴x=6，y=3
补全频率分布直方图
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
＝10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
500×（0.024+0.012+0.006）×10=210
18. 根据如图所示的程序框图，将输出的x，y依次记为x1，x2，…，x2013，y1，y2…y2013，
（1）求出数列{xn}，{yn}（n≤2013）的通项公式；
（2）求数列{xn+yn}（n≤2013）的前n项的和Sn．
解：（1）由程序框图可得到数列{xn}是首项为2，
公差为3的等差数列，∴xn=3n-1，（n≤2013）．
数列{yn+1}是首项为3公比为2的等比数列，
∴yn+1=3•2n-1，∴yn=3•2n-1-1，（n≤2013）．
（Ⅱ）∵xn+yn=3n-1+3•2n-1-1=，（n≤2013）．
∴Sn=（2+5+…+3n-1）+（3+6+…+3•2n-1）-n
= +3•2n-3-n=3•2n+ （n≤2013）．
19. 在△ABC中，∠B=45°，AC= ，cosC= ，
（1）求BC的长；
（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．
解：（1）由cosC＝ 得sinC＝
sinA＝sin(180°−45°−C)＝ (cosC+sinC)＝
由正弦定理知BC＝ •sinA＝ • ＝3
（2）AB＝ •sinC＝ • ＝2,BD＝ AB＝1
由余弦定理知CD＝ = ＝
20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？
解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则
t= = ，
y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费
=125tx+100x+60（500+100t）
=125x• +100x+30000+
y=1250• +100（x-2+2）+30000+
=31450+100（x-2）+
≥31450+2 =36450，
当且仅当100（x-2）= ，
即x=27时，y有最小值36450．
答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.
21. 各项为正数的数列{an}满足 ＝4Sn−2an−1（n∈N*），其中Sn为{an}前n项和．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）是否存在正整数m、n，使得向量 =（2an+2，m）与向量 =（−an+5，3+an）垂直？说明理由．
解：（1）当n=1时， ＝4S1−2a1−1，化简得(a1−1)2＝0，解之得a1=1
当n=2时， ＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1
将a1=1代入化简，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）
综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3；
（2）由 ＝4Sn−2an−1…①， ＝4Sn+1−2an+1−1…②
②-①，得 − ＝4an+1−2an+1+2an＝2(an+1+an)
移项，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵数列{an}的各项为正数，
∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0
因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列
∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1；
（3）∵向量 =（2an+2，m）与向量 =（-an+5，3+an）
∴结合（2）求出的通项公式，得 =（2（2n+3），m）， =（-（2n+9），2n+2）
若向量 ⊥ ，则 • =-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0
化简得m=4（n+1）+16+
∵m、n是正整数，
∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使 ⊥ 符合题意
综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量 =（2an+2，m）与向量 =（-an+5，3+an）垂直．