高一数学下册函数的单调性的概念过关检测试题及答案

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训练12 函数的单调性的概念
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1.若函数f(x)在区间［m,n］上是增函数,在区间［n,k］上也是增函数,则函数f(x)在区间(m,k)上( )
A.必是减函数 B.是增函数或减函数
C.必是增函数 D.未必是增函数或减函数
答案：C
解析：任取x1、x2∈(m,k),且x1若x1、x2∈(m,n］,则f(x1)若x1、x2∈［n,k),则f(x1)

若x1∈(m,n］,x2∈(n,k),则x1≤n∴f(x1)≤f(n)∴f(x)在(m,k)上必为增函数.
2.函数f(x)=x2+4ax+2在(-∞,6)内递减,那么实数a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3 C.a≥-3 D.a≤-3
答案：D
解析：∵- =-2a≥6,∴a≤-3.
3.若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞,+∞)上是单调增函数,那么点(k,b)在直角坐标平面的( )
A.上半平面 B.下半平面
C.左半平面 D.右半平面
答案：D
解析：易知k>0,b∈R,∴(k,b)在右半平面.
4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上为减函数.
5.函数y= 的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.
答案：［-3,- ］ ［- ,2］
解析：由-x2-x-6≥0,即x2+x-6≤0,解得-3≤x≤2.
∴y= 的定义域是［-3,2］.
又u=-x2-x+6的对称轴是x=- ,
∴u在x∈［-3,- ］上递增,在x∈［- ,2］上递减.
又y= 在［0,+∞］上是增函数,∴y= 的递增区间是［-3,- ］,递减区间［- ,2］.
6.函数f(x)在定义域［-1,1］上是增函数,且f(x-1)答案：1解析：依题意 17.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)= >0,又g(x)=f(x)+c(c为常数),在［a,b］上是单调递增函数,判断并证明g(x)在［-b,-a］上的单调性.
解：任取x1、x2∈［-b,-a］且-b≤x1则g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .
∵g(x)=f(x)+c在［a,b］上是增函数,
∴f(x)在［a,b］上也是增函数.
又b≥-x1>-x2≥a,
∴f(-x1)>f(-x2).
又f(-x1),f(-x2)皆大于0,∴g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)能力提升 踮起脚,抓得住!
8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,则下列不等式正确的是( )
A.f(2a)C.f(a2+a)答案：D
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ >0,
∴a2+1>a.函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
∴f(a2+1)9.若f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )
A.f(1)C.f(2)答案：C
解析：∵对称轴x=- =2,∴b=-4.
∴f(1)=f(3)10.已知函数f(x)=x3-x在(0,a］上递减,在［a,+∞)上递增,则a=____________
答案：
解析：设0f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),
当0f(x2).
同理,可证 ≤x111.函数f(x)=|x2-2x-3|的增区间是_________________.
答案：(-1,1),(3,+∞)

解析：f(x)= 画出图象易知.
12.证明函数f(x)= -x在其定义域内是减函数.
证明:∵函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
设x1、x2为区间(-∞,+∞)上的任意两个值且x1f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)
=(x2-x1) =(x2-x1)• .
∵x2>x1,∴x2-x1>0且 + >0.
又∵对任意x∈R,都有 > =|x|≥x,∴有 >x,即有x- <0.
∴x1- <0,x2- <0.
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴函数f(x)= -x在其定义域R内单调递减.
13.设函数f(x)对于任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,若 f(x2)-f(x)> f(bx)-f(b),求x的范围.
解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R),
∴2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).
同理,2f(b)=f(2b).
由 f(x2)-f(x)> f(bx)-f(b),
得f(x2)+2f(b)>f(bx)+2f(x),
即f(x2)+f(2b)>f(bx)+f(2x).
即f(x2+2b)>f(bx+2x).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴x2+2b∴x2-(b+2)x+2b<0.
∴x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)<0.
当b>2时,得2当b<2时,得b当b=2时,得x∈ .
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14.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则f(2x-x2)的单调增区间是( )
A.(-∞,2) B.［-2,+∞］ C.(-∞,-1] D.［1,+∞)
答案：D
解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:当x≥1时,函数g(x)单调递减;当x≤1时,函数g(x)单调递增.又因函数f(t)在(-∞,+∞)上递减,故f(2x-x2)的单调减区间为(-∞,1],增区间为［1,+∞).
15.老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:
甲:对于x∈R,都有f(1+x)=f(1-x);
乙:在(-∞,0］上函数递减;
丙:在(0,+∞)上函数递增;
丁:f(0)不是函数的最小值.
如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数:________________.
答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)
解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,满足其中三个且另一个不满足即可).
f(1+x)=f(1-x)表示对称轴方程为x=1.
16.已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞).
(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
解：(1)当a= 时,f(x)=x+ +2,设1≤x1则f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .
因为1≤x10,2x1x2-1>0,2x1x2>0 f(x2)-f(x1)>0,

即f(x)在［1,+∞］上单调递增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .
(2)x∈［1,+∞］,f(x)>0恒成立 x2+2x+a>0恒成立,即a>-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=
-(x+1)2+1≤-3,所以a>-3.