电磁场时域数值方法及其混合技术概述(一)

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摘　要: 时域数值方法是计算电磁学领域的研究热点和常用方法。本文对多种典型电磁场时域数值方法的原理和特点加以简要评述;总结了涉及该类方法的混合技术,主要是信号处理技术在时域数值方法中的应用;最后对该方法的发展前景作了展望。

关键词: 时域数值方法, 混合算法

引　言
Maxwell方程组的提出对于电子科学技术的发展,代写论文乃至人类科学历史进程都有重要的推动作用,在该方程组简单的形式下隐藏着仔细研究才能显现的深奥内容。解析法、近似法与被誉为“第三种科学方法”的数值方法共同构成求解Maxwell方程组的主要手段。传统电磁场数值方法中占据着主导地位的一直是频域方法。随着应用电磁学领域研究的深入,点频和窄频带方法经常不能满足需要,实践的需求推动了时域数值方法的发展。借助于近年计算机硬件水平的迅猛提高,人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场计算分析的能力,从而可能实现对电磁场更直观、更深刻的理解。时域数值方法能够给出丰富的时域信息,并且可以根据需要截取计算时间,而且经过简单的时频变换,即可得到宽带范围内的频域信息,相对频域方法显著地节约了计算量。同时,多数时域数值法还具有理论简单、操作容易、适用广泛等优点,因而成为研究热点,在理论研究取得长足进步的同时,应用范围也不断拓展。
本文首先对具有代表性的电磁场时域数值方法的原理、特点加以介绍和评述;然后总结了该类方法的混合技术,重点是若干信号处理技术在其中的应用;最后,指出了时域数值法的发展方向和可能涉及的关键技术。1　主要时域数值方法简评随着各具特色和优势的新颖方法层出不穷,电磁场时域数值技术迎来其蓬勃发展的时期,成为计算电磁学的重要生长点,下面简要介绍具有代表性的各种方法。
1. 1　时域有限差分法( FDTD method)
1966年提出的FDTD法[ 1 ]是最受关注、发展最为迅速和应用范围最广的一种典型全波分析时域方法。经典的FDTD法的迭代公式是在包括时间在内的四维空间变量中,对Maxwell旋度方程对应的微分方程进行二阶中心差分近似所得到的。该方法的基本支撑技术包括数值稳定性条件(即空间步长与时间步长的关系) 、吸收边界条件、激励源设置、连接边界应用、近远场变换、色散/各向异性媒质模拟、数值误差分析、细线薄片等结构的共形技术以及非正交坐标系下的网格划分等。Mur和色散吸收边界实现简单,但误差较大,具有优越吸收特性的完全匹配层技术( PML )很好地解决了吸收边界条件的问题;近远场变换技术则令FDTD获得了求解远区场的能力。
FDTD法已在散射、辐射、传输、集总参数电路元件模拟、生物电磁学等多方面得到广泛应用[ 2 ] 。目前的主要发展方向是提高计算精度,增加模拟复杂媒质和结构的能力(特别是对不同媒质分界面处的模拟) ,减少对计算机存储空间等硬件水平的需求,解决电大尺寸的计算,以及拓展应用范围等。
近年来,有多种FDTD法的变形出现,此处仅举出较具特色的几种。
①特定角度优化的时域有限差分法(AO-FDTD) [ 3 ] :针对在FDTD方法的应用中,代写毕业论文 经常遇到只关心某个(些)角度附近波传播的时空分布的情况,通过对Maxwell旋度方程引入“自由参量”作系数,可以根据需要在所关心的角度附近获得理想的相速值,提高计算结果的精度。
②交替方向隐式时域有限差分法(AD I-FDTD) [ 4, 5 ] :核心是利用偏微分方程数值解法中求解多维空间问题的交替方向隐式算法,令FDTD法摆脱时间稳定性条件(Courant-Friedrich-Levy condi-tion简称C-F-L条件)的限制,从而明显地节省计算时间。但随着时间步长的增加,数值色散效应增强,计算精度降低。另外,由于在同一个时间步的每个场量要迭代并存储两次, 占用内存较多, 故而与FDTD法结合应用效果较好,即可以在精细结构处采用AD I-FDTD,其它空间部用传统的FDTD法。
③部分场量降维存储的R2FDTD 法[ 6 ] : 传统FDTD法的差分方程没有利用Maxwell方程组中两个散度公式,而R2FDTD法充分利用所有的旋度和散度公式得到差分方程。对于三维问题中的一个电场分量和一个磁场分量可分别用二维数组替代,从而在理论上可以节省约1 /3内存,而计算时间和传统FDTD法相当。对于存在激励源和(或)良性导体的区域,由于电磁场散度公式的值不等于零,对应的差分方程需特殊处理,较为复杂,因而这种方法适合解决问题空间内部激励源较为规则,导体所占空间较小的情况。当然也可以将R - FDTD 法与FDTD法分别用于计算无源区和有源区,再利用子域连接法将不同空间区域连接起来。考虑到AD I-FDTD法占用内存较大,可以用R2FDTD法对其进行改造,从而收到节省隐式算法所需内存的效果[ 7 ] 。
④时域有限体积法( FVTD) [ 8 ] : 是Maxwell方程积分形式的一种差分代替微分的离散表达,也可以作为FDTD法的一种共形技术。这种方法适于解决问题空间包括不规则网格单元的问题,与FDTD法相比,在大体一致的网格分布情况下,计算量有所增加。目前,尚没有对此方法稳定性的系统分析理论,但一般认为其稳定性主要取决于体积单元的几何形状,较FDTD法苛刻,另一个缺点是建立数学模型较为困难。
⑤高阶(High order)时域有限差分法[ 9 ] :通过对Maxwell旋度方程进行高阶差分近似,可以用传统FDTD法中较为粗糙的网格对空间进行划分,同时又能保持比较令人满意的数值色散特性,达到有效节约计算资源的目的,有一定的计算电大尺寸目标的潜力。
⑥基于多项式展开的隐式FDTD法[ 10 ] :采用拉盖尔(Laguerre)多项式为基函数展开Maxwell方程中场量对时间的偏导数,再利用Galerkin方法和基函数的正交性获得隐式的迭代方程。与AD I2FDTD法相比,两者均突破了C2F2L条件的限制,该方法独具的优越之处在于可以很好地控制数值色散,但其适用范围还有待进一步验证。
1. 2　传输线矩阵法( TLM method)
TLM法的理论基础是Huygens原理和早期的网络仿真技术,通过用开放的传输线(双线)构成正交的网格体,并运用空间电磁场方程与传输线网络中电压和电流之间关系的相似性确定网络响应。众多学者在变尺寸网格、简化节点、误差纠正技术方面对TLM法进行了改进,还将该方程扩展到了各向异性媒质[ 11, 12 ] 。
1. 3　时域积分方程法( TD IE method)
TD IE法基于问题的Green函数和边界条件可以建立时域积分方程[ 13, 14 ] ,然后把空间变量的积分区域和时间变量都离散化,把积分方程化为线性方程组,从已知初始值开始计算,按时间步进的方式递推,逐步求出各时间取样点的响应值。这种方法的优点是不需人为设置边界条件。但是,随着FDTD法在瞬态电磁场领域的广泛应用, 人们对TD IE法的关注程度明显降低,这可能由于其计算的复杂性以及电场积分方程在时间递推计算的后期不易保持稳定。
1. 4　时域有限元法( FETD method)
FETD法的理论原型是频域的有限元法。最初应用点匹配法,只能求解Maxwell旋度方程中的一个,可能造成较大的误差。后来发展为能够同时求解两个旋度方程,并且采用合适的差分方式提高了运算结果的精度。方法的稳定性取决于在场量更新过程中涉及到的矩阵运算。D R Lynch等考虑将运算中涉及的稀疏矩阵进行变形[ 15 ] ,令远离对角线的元素为零,达到减少计算量的目的。K S Komisarek等对FETD法的吸收边界条件进行了富有成效的研究[ 16 ] 。YWang等利用一般信号的载波频率远高于所传输信号频率的特点,由场量包络对应的Maxwell方程导出的差分方程提取有用信息时,可令时间步长值一定程度得到扩大,从而减少计算时间[ 17 ] 。
1. 5　多分辨率时域技术(M RTD method)
虽然MRTD 法的理论基础是频域的矩量法[ 18, 19 ]和信号处理中的小波变换,但这种方法仍然将计算空间分成与FDTD法一样的单元网格。代写硕士论文在权衡所需计算精度和计算资源条件后,将时变场量利用尺度变换和小波变换展开构成差分迭代方程。此方法的优点之一是在进行数据采样的过程中,理论上只需在平均每个波长的距离上取两个采样点,而FDTD法的每波长距离一般需要10个以上的采样点,较传统的FDTD法节省存储空间,减少计算量,因而有处理电大尺寸空间的潜力;同时,该方法具有较好的线性色散特性。目前,这种方法的主要缺点是吸收边界设置复杂,同时C2F2L条件比FDTD法要苛刻,可以说是“以时间换取空间”。
1. 6　时域伪谱方法( PSTD method)
PSTD[ 20 ]法借助Fourier变换及Fourier反变换将空间微分用空域积分变换和谱域积分反变换来表示。该方法的优点包括:因为积分函数是全域函数,不存在差商代替微商的误差问题,所以理论上具有无限阶精度;在谱域采样遵循Nyquist采样定理,一个波长仅需设置两个网格点即可(与MRTD 法相同) ;采用快速Fourier变换( FFT)技术,提高了算法的效率; FDTD法在求解各向异性媒质问题时,由于电磁参数的非对角性质要用到场的插值技术[ 21 ] ,会降低解的准确性,而PSTD法不采用交错网格,所有场量都位于同一点上,因此避免了引入插值,即使在不连续性媒质的界面上,切向场对界面法向的导数仍保持连续性; 该方法也适用于色散媒质[ 22 ] 。PSTD法还有两个没彻底解决的问题:一是“点源效应”的Gibbs现象,这是由于在做FFT的过程中,点源的三角函数基展开表述不正确造成的,可以通过设置空间平滑的体积源一定程度地克服;二是空间的不连续性造成全域函数不连续,致使均匀空间的FFT不便使用,例如在自由空间和金属导体的交界面处,会出现较大的运算误差。最近出现的multi-domain技术对解决上述问题有一定帮助。
1. 7　其它时域数值方法
时域数值方法远不止上述几种,并且新的方法仍然不断涌现。求解时域积分方程的时间步进法(MOT, Marching-on-in-time)仅需要简单的迭代运算,但计算后期易出现不稳定。采用FDTD法类似的差分手段,直接对波动方程或Maxwell方程中的一个旋度方程进行差分,可以获得差分迭代公式,但是计算复杂,故而计算速度逊于FDTD法; J S Shang提出的时域特征波法[ 23 ] ,在计算不同交界面的场变化和设置吸收边界问题上有优势;时域物理光学法(TDPO) ,适于计算某些电大对象;还出现了时域的几何绕射(GTD)理论[ 24 ] 。

1. 8　时域数值方法的性能评估
各种时域数值法各有千秋,不能简单地相互替代,而是经常存在互补关系。例如PSTD法和MRTD法较FDTD法更适宜计算电大对象,但同时会带来难以描述细微结构的问题。正所谓“尺有所短,寸有所长”,各种算法概莫能外。下面对4 种常用时域方法的性能初步加以总结(见表1) ,以供参考。
表1　时域数值方法的性能比较( 5:最好; 1:最差)
方法占用内存计算时间边界处理编程难度数值误差应用普及
FDTD 3 2 44 1 - 3 5
TLM 1 1 5 5 2 3
MRTD 5 5 1 1 3 - 5 2
PSTD 55 2 2 3 ? 52
2　时域数值方法的混合技术
2. 1　数值方法的结合
首先是时域数值法自身的混合应用,例如上述的R-FDTD法分别与FDTD法和AD I2FDTD法的联合应用;还有FVTD 法和FDTD 法结合[ 25 ] ,便于解决计算空间不规则的问题,既节省内存,又能得到比较准确的结果; TD IE法与FDTD 法结合,处理问题的能力有所提高[ 26 ] ;利用AD I-FDTD法中的核心思想能够得到隐式的MRTD (AD I-MRTD)法,一定程度地摆脱了C2F2L条件的限制;解决MRTD法的吸收边界实现较为困难的一种办法是采用FDTD法设置PML,然后正确地将两种方法的计算空间连接起来,从而降低了编程的难度[ 27 ] 。
其次,时域数值法也可以与频域法、近似法或解析法混合应用。能够利用解析法和近似法处理的计算空间,则不必一定用数值法,只要考虑合适的结合办法。有时FDTD法与矩量法(MoM)结合,可以避免引入Green函数[ 28 ] 。在计算空间既有大部分的规则尺寸,同时又有细节部分时,可以采样时域数值方法与射线寻迹、一致性绕射理论(UTD) 、物理光学法( PO)等结合应用。通过和积分方程法、有限元方法等相结合发展共形技术,可以提高对复杂结构建模的能力[ 29 ] 。
2. 2　信号处理技术的应用
从时域数值法诞生,即开始受益于信号处理理论。例如,作为时域和频域之间桥梁的Fourier变换将时域信息变换为频域信息; PSTD法亦是以Fou-rier变换为核心。此处再列举几项有代表性的信号处理技术在电磁场时域数值计算中的应用。
①小波变换理论: 小波变换作为Fourier变换的有力补充,在信号处理领域已经得到广泛应用。MRTD法即是小波理论中的多分辨率技术在计算电磁学中的应用;计算产生的大量电磁响应可以利用小波理论进行压缩存储,这点已经在近远场变换中得到应用[ 30 ] ;因为受数值误差的限制, FDTD法对每个波长的采样点数通常在10 个以上, 远大于Nyquist采样定律的要求,从这个角度看, FDTD法的数据存储存在冗余,利用小波变换可以压缩数据结果,以节省存储空间,待需要时还可以恢复。
② Z变换理论: D M Sullivan最早提出利用Z变换分析色散媒质[ 31, 32 ] 。对于色散媒质,电位移与电场强度不再是简单的线性关系,两者频域的关系式D (ω) =ε(ω) E (ω)在时域变为卷积,可以利用卷积方法和辅助变量微分方程进行计算。但如果选择Z变换来解决问题,则理论清晰,易于推广,这在对等离子体( Plasma) 、Debye媒质、人体组织等对象的研究中均得到证实。