沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题（理科含答案新人教A版）
详细内容
沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题（理科含答案新人教A版）
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若复数( )＋( )i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数 ＝ ( )
A．±1 B．－1 C．0 D．1
2. 已知集合 ， ，则 ( )
A．{ ｜0＜ ＜ } B.{ ｜ ＜ ＜1} C.{ ｜0＜ ＜1} D.{ ｜1＜ ＜2}
3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”．
B．“ ” 是“ ”的必要不充分条件.
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题.
D．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”．
4. 已知各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列，则 （ ）
A. 27 B.3 C. 或3 D.1或27
5. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
6. 已知 ,则 ( )
A． B． C． D．
7. 已知x，y满足 记目标函数 的最小值为1，最大值为7，则 的值分别为 （ ）
A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2
8．已知等比数列 满足 ＞0， ＝1,2，…，且 ，则当 ≥1时，
＝ （ ）
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
9.已知x∈0，π2，且函数f(x)＝1＋2sin2xsin 2x的最小值为b，若函数g(x)＝－1π4＜x＜π28x2－6bx＋40＜x≤π4，则不等式g(x)≤1的解集为 ( )
A.π4，π2 B.π4，32 C.34，32 D.34，π2
10. 如图，长方形 的长 ，宽 ，线段 的长度为1，端点 在长方形 的四边上滑动，当 沿长方形的四边滑动一周时，线段 的中点 所形成的轨迹为 ，记 的周长与 围成的面积数值的差为 ，则函数 的图象大致为 （ ）
11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
12.函数 ，在定义域 上表示的曲线过原点，且在 处的切线斜率均为 .有以下命题：
① 是奇函数；②若 内递减，则 的最大值为4；③ 的最大值为M，最小值为m，则 ；④若对 恒成立，则 的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
13.. 若函数 在 上可导， ，则 .
14. 若 且 ，则 的最小值为 .
15. 若数列 是等差数列，对于 ，则数列 也是等差数列。类比上述性质，若数列 是各项都为正数的等比数列，对于 ，则 = 时，数列 也是等比数列.
16. 已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，其中 ，则 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共六个大题，满分70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
（1）已知 ，且 ，求 的值；
（2）已知 为第二象限角，且 ，求 的值.
18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
且 .
(Ⅰ)求角 的大小； (Ⅱ)若 的最大值．
19．（本题满分12分）
设数列 是等差数列，数列 的前 项和 满足 且
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式：
（Ⅱ）设 ，设 为 的前n项和，求 .
20.（本题满分12分）
已知二次函数 ，若不等式 的解集为C.
（1）求集合C；
（2）若方程 在C上有解，求实数 的取值范围.
21.（本题满分12分）
如图， 、 、…、 是曲线 ： 上的 个点，点 （ ）在 轴的正半轴上，且 是正三角形（ 是坐标原点）．
（1）写出 、 、 ；
（2）求出点 （ ）的横坐标 关于 的表达式并证明.
22.（本题满分12分）
已知函数 在 处的切线 与直线 垂直，函数 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若函数 存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值．
沈阳二中2014――2015学年度上学期期中考试
高三（15届）理科数学试题答案
一．选择题：1. B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.C 11.B 12.B
二．填空题：13.-4 14.
15. 提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数 类比到几何平均数 .
16.
三、解答题：
17.
18.解：(Ⅰ)由3a－2csin A＝0及正弦定理，
得3sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，（1分）
∴sin C＝32，（4分）∵△ABC是锐角三角形，
∴C＝π3 （6分）
(Ⅱ)∵c＝2，C＝π3，由余弦定理，a2＋b2－2abcos π3＝4，
即a2＋b2－ab＝4 （8分）
∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3•a＋b22，即(a＋b)2≤16，（10分）
∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”（11分）
故a＋b的最大值是4.（12分）
19.解： (1) , (3分) . （3分）
（2） .（12分）
20. 解: （1） ------------------------------1分
当 时， ------------------3分
当 时， --------------5分
所以集合 ---------------6分
（2） ，令
则方程为 ---------------7分
当 时， ， 在 上有解，
则 -----------------9分
当 时， ， 在 上有解，
则 ------------------------11分
所以，当 或 时，方程在C上有解，且有唯一解。-----------12分
21.解：
（1） ………………3分
（2）依题意，得 ，由此及 得
，
即 ．
由（Ⅰ）可猜想： ．………6分
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当 时，命题显然成立；………7分
（2）假定当 时命题成立，即有 ，则当 时，由归纳假设及
得 ，即
，
解之得
（ 不合题意，舍去），
即当 时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．………………12分
22. 解：（Ⅰ）∵ ，∴ .-----------------------1分
∵ 与直线 垂直，∴ ，∴ .--------------3分
------7分