2015高考数学(文)几何证明选讲一轮复习题有解析
详细内容
04限时规范特训
A级 基础达标
1．如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥DC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为( )
A．3∶7 B．7∶3
C．3∶10 D．7∶10
解析：∵MN∥DE∥BC，∴ADDB＝AEEC＝73，
∴AD＋DBDB＝7＋33，∴ABDB＝103，
∴DBAB＝310.故选C.
答案：C
2．[2014•锦州模拟]如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为CD和BE是高，可得∠DCA＝∠EBA，所以△BOD与△COE，△CAD，△BAE相似．故选C.
答案：C
3．[2014•广州模拟]如图，已知在▱ABCD中，O1，O2，O3为对角线BD上三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于F，则AD∶FD等于( )
A．19∶2 B．9∶1
C．8∶1 D．7∶1
解析：在▱ABCD中，
∵BE∥DF，BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，
∴DFBE＝O3DO3B＝13，
同理BEAD＝O1BO1D＝13，
∴AD∶FD＝9∶1.
答案：B
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝3∶2，则△ACD与△CBD的相似比为( )
A．2∶3 B．3∶2
C．9∶4 D.6∶3
解析：如图Rt△ABC中，由CD⊥AB及射影定理知，
CD2＝AD•BD，即CDAD＝BDCD，
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
∵BD∶AD＝3∶2
∴令BD＝3t，AD＝2t，
则CD2＝6t2，即CD＝6t，∴ADCD＝2t6t＝63.
故△ACD与△CBD的相似比为6∶3.
答案：D
5．[2014•湖南模拟]如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝( )
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
解析：由题意可知，△DEF与△BAF相似，且DE∶AB＝2∶5，所以△DEF与△ABF的面积之比为4∶25.△DEF与△BEF的底分别是DF，BF，二者高相等，又DF∶BF＝2∶5，所以△DEF与△BEF的面积之比为2∶5.综上S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25，故选A.
答案：A
6．[2014•陕西模拟]如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析：在Rt△ACD中，CD＝122－42＝82，所以cosD＝232，由于∠D＝∠B，则在Rt△AEB中，cosB＝BEAB，所以BE＝AB•cosB＝42.
答案：42
7．[2014•许昌模拟]已知梯形ABCD的上底AD＝8 cm，下底BC＝15 cm，在边AB、CD上分别取E、F，使AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则EF＝________.
解析：因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.
所以EP∶BC＝3∶5，因为BC＝15 cm，
所以EP＝9 cm，同理PF＝3.2 cm.
所以EF＝12.2 cm.
答案：12.2 cm
8．[2014•湖北三校联考]如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为________．
解析：法一：∵∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥DE，
∴∠AEB＋∠CED＝90°.
∴∠BAE＝∠CED，
∴Rt△ABE∽Rt△ECD，
∴ABBE＝ED，即AB4＝1AB，∴AB＝2.
法二：过E作EF⊥AD于F.
由题知AF＝BE＝4，
DF＝CE＝1.
则EF2＝AF•DF＝4.
∴AB＝EF＝2.
答案：2
9．[2014•揭阳市质检]如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则BD的长为________，AB的长为________．
解析：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，
又∵EF∥CD，
∴∠DFE＝∠BDC，
∴△FDE∽△DBC，
∴FDDB＝DEBC，∴BD＝32，
∵DE∥BC，
∴AEAC＝DEBC＝23，∴AEEC＝2，
∵EF∥CD，∴AFFD＝AEEC＝2，∴AF＝2，∴AB＝92.
答案：32 92
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F，求证：PB2＝PE•PF.
证明：连接PC，易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP.
∵CF∥AB，∴∠F＝∠ABP，从而∠F＝∠ACP.
又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，
从而△CPE∽△FPC，∴CPFP＝PEPC，
∴PC2＝PE•PF.
又PC＝PB，∴PB2＝PE•PF.
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝13AC，BD＝13AB，点F在BC上，且CF＝13BC.求证：
(1)EF⊥BC；
(2)∠ADE＝∠EBC.
证明：设AB＝AC＝3a，
则AE＝BD＝a，CF＝2a.
(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23.
又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，
由∠BAC＝90°.∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.
(2)由(1)得EF＝2a，
故AEEF＝a2a＝22，ADBF＝2a22a＝22，
∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，
∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.
12．如图所示，已知，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝14AD，从AB的中点F作HF⊥EC于H.
(1)求证：FH＝FA；
(2)求EH∶HC的值．
解：(1)证明：连接EF，FC，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°.
∵AE＝14AD，F为AB的中点，
∴AEAF＝FBBC.
∴△EAF∽△FBC，
∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠BCF.
又∠A＝∠B＝90°，
∴∠EFC＝90°，EFFC＝12.
又∵∠EFC＝∠B＝90°，∴△EFC∽△FBC.
∴∠HEF＝∠BFC，∠ECF＝∠BCF.
∴∠AEF＝∠HEF，∠AFE＝∠HFE，又EF＝EF，
∴△EAF≌△EHF，∴FH＝FA.
(2)由(1)知△EFC是直角三角形，FH是斜边EC上的高，
由射影定理可得EF2＝EH•EC，FC2＝CH•CE，于是EH∶HC＝EF2∶FC2.
由(1)得EFFC＝12，于是EH∶HC＝EF2∶FC2＝1∶4.
B级 知能提升
1．[2014•金版创新题]如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，要使BC边上至少存在一点P，使△PBA，△APD，△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足( )
A．a≥12b B．a≥b
C．a≥32b D．a≥2b
解析：结合图形易知，要使△PBA，△APD，△CDP两两相似，必须满足ABCP＝BPCD.即bCP＝BPb，BP•CP＝b2.设BP＝x，则CP＝a－x，∴(a－x)x＝b2，即x2－ax＋b2＝0，要使BC边上至少存在一点P，必须满足Δ＝a2－4b2≥0，所以a≥2b，故选D.
答案：D
2．如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F，交CB的延长线于点N.若AE＝2，AD＝6，则AFAC＝________.
解析：∵AD∥BC，∴△AEF∽△F，∴AFCF＝AE，
∴AFAF＋CF＝AEAE＋.
∵M为AB的中点，∴AEBN＝AMBM＝1，
∴AE＝BN，∴AFAC＝AFAF＋CF＝AEAE＋BN＋BC＝AE2AE＋BC.
∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴AFAC＝22×2＋6＝15.
答案：15
3．[2014•永州模拟]如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝120°，AD⊥BC，过B作CA的垂线，交CA的延长线于E，交DA的延长线于F，则AF＝________.
解析：设AE＝x，
∵∠BAC＝120°，∴∠EAB＝60°.
又AE⊥EB，∴AB＝2x，BE＝3x，
∴AEBE＝x3x＝13.
在Rt△AEF与Rt△BEC中，
∠F＝90°－∠EAF＝90°－∠DAC＝∠C，
∴△AEF∽△BEC，∴AFBC＝AEBE，∴AF＝4×13＝433.
答案：433
4．[2014•山东模拟]有一块直角三角形木板，如图所示，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．
解：如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为x cm，过点C作CM⊥AB于M，交DE于N，
因为S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CM，
所以AC•BC＝AB•CM，即3×4＝5•CM.所以CM＝125.
因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB.
所以CM＝DEAB，即125－x125＝x5.
所以x＝6037.
如图(2)所示，设正方形CDEF的边长为y cm，因为EF∥AC，所以△BEF∽△BAC.
所以BFBC＝EFAC，即3－y3＝y4.所以y＝127.
因为x＝6037，y＝127＝6035，所以x