基本不等式专项测试题（含解析2015高考数学一轮）

详细内容

基本不等式专项测试题（含解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(　　)
A．a＜b＜ab＜a＋b2　　B．a＜ab＜a＋b2＜b
C．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b
解析：∵0＜a＜b，∴a＜a＋b2＜b，A、C错误；
ab－a＝a(b－a)＞0，即ab＞a，D错误，故选B.
答案：B
2．(2014•青岛模拟)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝4，则1ab的最小值为
(　　)
A.14 B．4
C.12 D．2
解析：由4＝2a＋b≥22ab，得ab≤2，又a＞0，b＞0，所以1ab≥12，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立．
答案：C
3．(2014•泰安模拟)设0＜x＜2，则函数y＝x4－2x的最大值为
(　　)
A．2 B.22
C.3 D.2
解析：∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝x4－2x＝2•x2－x≤2•x＋2－x2＝2，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值是2.
答案：D
4．(2014•曲靖模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为________．
解析：由题意得点A的坐标为(－2，－1)，
∴2m＋n＝1，
∴1m＋2n＝1m＋2n(2m＋n)
＝4＋nm＋4mn≥4＋2 nm•4mn＝8.
当且仅当m＝14，n＝12时取等号，
故1m＋2n的最小值为8.
答案：8
5．当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．
解析：∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，
当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．
答案：1
6．(2014•四平模拟)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
解析：依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，
∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2x＋12y＋1＝6，
即x＋2y≥4.
当且仅当x＋1＝2y＋1，x＋2y＋2xy＝8，即x＝2，y＝1时等号成立．
∴x＋2y的最小值是4.
答案：4
7．(2014•太原二模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－x＋8x＋3.
设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173.
∵g(2)＞g(3)，∴g(x)min＝173.
∴－x＋8x＋3≤－83，
∴a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞.
答案：－83，＋∞
8．(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
(2)已知a＞b＞0，求a2＋16ba－b的最小值．
解：(1)由x＞0，y＞0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即(xy)2－22xy－6≥0，
∴(xy－32)•(xy＋2)≥0.
又∵xy＞0，∴xy≥32，即xy≥18.
∴xy的最小值为18.
(2)∵a＞b＞0，∴b(a－b)≤b＋a－b22＝a24，
当且仅当a＝2b时等号成立．
∴a2＋16ba－b≥a2＋16a24＝a2＋64a2
≥2 a2•64a2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．
∴当a＝22，b＝2时，a2＋16ba－b取得最小值16.
9．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴bca＋cab≥2 bca•cab＝2c；
bca＋abc≥2 bca•abc＝2b；
cab＋abc≥2 cab•abc＝2a.
以上三式相加得：
2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，
即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.
B组　能力突破
1．(2014•东营模拟)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0x－y＋2≥0x≥0y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为6，则4a＋6b的最小值为
(　　)
A.256 B.253
C.506 D.503
解析：点(x，y)所满足的可行域如图中阴影部分所示．根据目标函数所表示的直线的斜率是负值可知目标函数只在点A处取得最大值，故实数a，b满足4a＋6b＝6，即2a＋3b＝3，从而4a＋6b＝
13(2a＋3b)4a＋6b＝
1326＋12ba＋12ab≥13(26＋24)＝503，当且仅当a＝b时取等号．从而4a＋6b的最小值为503.
答案：D
2．如果0＜a＜b＜1，P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是
(　　)
A．P＞Q＞M B．Q＞P＞M
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
解析：因为P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，所以只需比较a＋b2，ab，a＋b的大小，显然a＋b2＞ab.又因为a＋b2＜a＋b(因为a＋b＞a＋b24，也就是a＋b4＜1)，所以a＋b＞a＋b2＞ab，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q＞P＞M.
答案：B
3．(2013•天津)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．
解析：∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2 b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1.
当且仅当b4|a|＝|a|b且a＜0，即b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．
答案：－2
4．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9xx＋1＋900]x＋1 800×6
＝900x＋9x＋10 809
≥2 900x•9x＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝900x，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
则y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90
＝900x＋9x＋9 729(x≥35)．
令f(x)＝x＋100x(x≥35)，x2＞x1＞35，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋100x1－x2＋100x2
＝x2－x1100－x1x2x1x2.
∵x2＞x1≥35，
∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0，
故f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
即f(x)＝x＋100x，当x≥35时为增函数．
则当x＝35时，f(x)有最小值，
此时y2＜10 989.
因此该厂应接受此优惠条件．