几何概型复习训练（含解析2015高考数学一轮）

详细内容

几何概型复习训练（含解析2015高考数学一轮）

A组　基础演练
1．一个路口的红绿灯．红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是
(　　)
A.15　　　　　　　　B.25
C.35 D.45
解析：以时间的长短进行度量，故P＝3075＝25.
答案：B
2．(2014•河南信阳二模)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，则弦长超过半径2倍的概率是
(　　)

A.34 B.12
C.13 D.35
解析：作等腰直角三角形AOC和AOM，B为圆上任一点，则当点B在 上运动时，弦长|AB|＞2R，∴P＝12.
答案：B
3．(2014•河南三市三模)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为
(　　)
A．1－π8 B．1－π4
C．1－π2 D．1－3π4
解析：函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B.

答案：B
4．(2014•济南名校联考)随着科技的进步，微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面．某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用，设计了一个试验：在一个边长为1 cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药，而爆炸的威力范围是一个半径为R的球，则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为
(　　)
A.π6 B.π5
C.π4 D.π9
解析：由题意可知，要使碎片全部落在正方体的内部，则该爆炸的威力范围的半径r不大于正方体的内切球的半径R＝12.所以该事件的概率P＝4π3×12313＝π6.
答案：A
5．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．

答案：16
6．(2013•福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．
解析：由3a－1＜0，得a＜13，而0～1的“长度”为1，故所求概率为13.
答案：13
7．设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2＋px＋p4＋12＝0有实根的概率为________．
解析：一元二次方程有实数根⇔ Δ≥0，而Δ＝p2－4p4＋12＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为P＝[0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的长度[0，5]的长度＝35.
答案：35
8．已知正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M―ABCD的体积小于16的概率．

解：如图，正方体
ABCD―A1B1C1D1.
设M―ABCD的高为h，
则13×S△ABCD×h＜16，
又S△ABCD＝1，∴h＜12，
即点M在正方体的下半部分，
∴所求概率P＝12V正方体V正方体＝12.
9．(2014•长沙模拟)已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a•b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a•b＜0的概率．
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a•b＝－1有－2x＋y＝－1，
所以满足a•b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；
故满足a•b＝－1的概率为336＝112.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；
满足a•b＜0的基本事件的结果为
A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y＜0}；
画出图形如下图，
矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－12×2×4＝21，

故满足a•b＜0的概率为2125.
B组　能力突破
1．(原创)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则P点到A点的距离大于1米，同时∠DPC∈0，π2的概率为
(　　)
A．1－3π16 B．1－π16
C.3π16 D.π16
解析：由题意，易知：(1)点P在以A点为圆心，1为半径的圆外；(2)若点P在以DC为直径的圆上，则∠DPC＝π2，若点P在以DC为直径的圆内，则∠DPC＞π2，故只有点P在以DC为直径的圆外时满足∠DPC为锐角．因此，点P落入图中的阴影部分，故所求概率为4－π4－π24＝1－3π16，选A.

答案：A
2．(2013•湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝
(　　)
A.12 B.14
C.32 D.74
解析：矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动过程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐渐减小，当P点到P1位置时，BA＝BP1，当P点到P2位置时，AB＝AP2，故点P在线段P1P2上时，△ABP中边AB最大，由题意可得P1P2＝12CD.在Rt△BCP1中，
BP21＝916CD2＋BC2＝916AB2＋AD2＝AB2.
即AD2＝716AB2，所以ADAB＝74，故选D.

答案：D
3．(2013•湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.
解析：当m≤2时，2m6＝56，无解．
当2＜m≤4时，m＋26＝56，∴m＝3.
综上，m＝3.
答案：3
4．(2014•江西宜春模拟)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数．若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝bx.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．
解：(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：
x－1x，x＋1x，x＋4x，4x－1x，4x＋1x，4x＋4x，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a＞0，b＞0时，ax＋bx在0，ba上递减，在ba，＋∞上递增；
x－1x和4x－1x在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－1x，x＋1x，x＋4x，4x－1x，
故事件A包含的基本事件有4种，
∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，
∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋b2≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．

∴P(B)＝12×2＋114×33×3
＝1924，
故所求概率是1924.