2015高考数学直线与方程一轮专练
详细内容
2015高考数学直线与方程一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
倾斜角与斜率1、5、10
直线的方程2、8、12
两条直线的交点11、15
两条直线的平行与垂直6、9、14
距离问题3、13
对称问题4、7
一、选择题
1.已知两点A(-3, ),B( ,-1),则直线AB的斜率是( D )
(A) (B)- (C) (D)-
解析:斜率k= =- ,故选D.
2.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截 距相等,则a的值是( D )
(A)1(B)-1
(C)-2或-1(D)-2或1
解析:①当a=0时,y=2不合题意.
②a≠0,
x=0时,y=2+a.
y=0时,x= ,
则 =a+2,得a=1或a=-2.故选D.
3.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( D )
(A)4(B) (C) (D)
解析:把3x+y-3=0转化为6x+2y-6=0,
由两直线平行知m=2,
则d= = .
故选D.
4.(2014皖南八校联考)直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C )
(A)x+2y-1=0(B)2x+y-1=0
(C)2x+y-5=0(D)x+2y-5=0
解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数,直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.故选C.
5.若直线l :y=kx- 与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( B )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
解析:由题意 ,可作直线2x+3y-6=0的图象,如图所示,则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0),B(0,2),又直线l过定点(0,- ),由题知直线l与线段AB相交(交点不含端点),从图中可以看出,直线l的倾斜角的取值范围为 , .故选B.
6.(2013泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为( A )
(A)x-2y+4=0(B)2x+y-7= 0
(C)x-2y+3=0(D)x-2y+5=0
解析:直线2x+y-5=0的斜率为k=-2,
∴所求直线的斜率为k'= ,
∴方程为y-3= (x-2),即x-2y+4=0.
7.
如图所示,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( A )
(A)2 (B)6(C)3 (D)2
解析:由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),
则光线所经过的路程为|CD|=2 .故选A.
二、填空题
8.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为 .
解析:由题意知截距均不为零.
设直线方程为 + =1,
由 解得 或
故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.
答案:x+y-3=0或x+2y-4=0
9.(2013湘潭质检)若过点A(-2,m),B(m,4 )的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为 .
解析:∵过点A,B的直线平行于直线2x+y+2=0,
∴kAB= =-2,解得m=-8.
答案:-8
10.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a的取值范围是 .
解析:由直线PQ的倾斜角为钝角,可知其斜率k<0,
即 <0,化简得 <0,∴-2
11.已知k∈R,则直线kx+(1-k)y+3=0经过的定点坐标是 .
解析:令k=0,得y+3=0,令k=1,得x+3=0.
解方程组 得
所以定点坐标为(-3,-3).
答案:(-3,-3)
12.(2013哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三 角形面积为1的直线l的方程为 .
解析:法一 由题知直线在两坐标轴上的截距不为0,
设直线方程为 + =1,
由题意有
解得 或
∴直线方程为 +y=1或 + =1,
即x+2y-2=0或2x+y+2=0.
法二 由题知直线l斜率存在且不为0,
设直线l:y-2=k(x+2).
当x=0时,y=2k+2,当y=0时,x=- -2.
则 (2k+2) - -2 =1,
解得k=- 或k=-2.
即直线l方程为2x+y+2=0或 x+2y-2=0.
答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0
13.(2013成都模拟)分别过 点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离,则l1的方程是 .
解析:由题意,l1,l2需与直线AB垂直才能符合题意,
而kAB= =1,
∴ =-1,
∴直线l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
答案:x+y-4=0
三、解答题
14.已知两直线l1:x+ysin α-1=0和l2:2xsin α+y+1=0,试求α的值,使(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
解:(1)法一 当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,
l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时, =- , =-2sin α.
要使l1∥l2,需- =-2sin α,
即sin α=± ,∴α=kπ± ,k∈Z.
故当α=kπ± ,k∈Z时,l1∥l2.
法二 由l1∥l2,得 ∴sin α=± ,
∴α=kπ± ,k∈Z.
故当α=kπ± ,k∈Z时,l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2,∴2sin α+sin α=0,即sin α=0.
∴α=kπ,k∈Z .
故当α=kπ,k∈Z时,
l1⊥l2.
15.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(1)证明l1与l2相交;
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
证明:(1)假设l1与l2不相交,则l1∥l2即k1=k2,代入k1k2+2=0,得 +2=0,这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)法一 由方程组 解得交点P的坐标为 , ,
而2x2+ y2=2 2+ 2
=
=
=1.
即P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
即l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
法二 交点P的坐标(x,y)满足 故知x≠0.
从而
代入k1k2+2=0,得 • +2=0,
整理后,得2x2+y2=1.
所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.