2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版（带答案）
详细内容
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理科） 2013.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数 化简的结果为
A. B. C. D.
2.已知直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数），则直线 的倾斜角及圆心 的直角坐标分别是
A. B. C. D.
3.向量 , 若 ,则实数 的值为
A. B. C. D.
4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的 为 ，则输出
的 的值分别为
A. B.
C. D.
5.如图， 与圆 相切于点 ，直线 交圆 于 两点，
弦 垂直 于 . 则下面结论中，错误的结论是
Ａ. ∽ B.
C. D.
6.数列 满足 （ 且 ），则“ ”是“数列 成等差数列”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为
A. B. C. D.
8. 椭圆 的左右焦点分别为 ，若椭圆 上恰好有6个不同的点 ，使得 为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 以 为渐近线且经过点 的双曲线方程为______.
10.数列 满足 且对任意的 ，都有 ，则 的前 项和 _____.
11. 在 的展开式中，常数项为______.(用数字作答)
12. 三棱锥 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱 的长为_________.
13. 点 在不等式组 表示的平面区域内，
若点 到直线 的最大距离为 ，则
14. 已知正方体 的棱长为 ，动点 在正方体 表面上运动，且 （ ），记点 的轨迹的长度为 ，则 ______________;关于 的方程 的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数 ， 三个内角 的对边分别
为 .
（I）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 ，求角 的大小.
16.（本小题满分13分）
汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数1234567
车辆数51030351532
B型车
出租天数1234567
车辆数1420201615105
（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， ，
是 中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）若棱 上存在一点 ，满足 ，求 的长；
（Ⅲ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18. （本小题满分13分）
已知函数
（I） 当 时,求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间.
19. （本小题满分14分）
已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 两点（不同于点 ），直线 分别交直线 于点 .
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知 为原点，求证： 为定值.
20. （本小题满分13分）
已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“一阶比增函数”；若 在 上为增函数，则称 为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为 .
(Ⅰ)已知函数 ，若 且 ，求实数 的取值范围；
(Ⅱ)已知 ， 且 的部分函数值由下表给出，
求证： ；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数 ，使得 ， ，有 成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2013．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号12345678
答案ACABDA CD
9．
10．
11.
12．
13．
14．
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为
………………6分
又 的单调递增区间为 ，
所以令
解得
所以函数 的单调增区间为 ， ………………8分
(Ⅱ) 因为 所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ………………10分
由正弦定理
把 代入，得到 ………………12分
又 ，所以 ，所以 ………………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为
这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………………3分
（II）设“事件 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为 天”，
“事件 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为 天”，其中
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
………………5分
………………7分
该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
………………9分
（Ⅲ）设 为A型车出租的天数，则 的分布列为
1234567
0.050.100.300.350.150.030.02
设 为B型车出租的天数，则 的分布列为
1 4567
0.140.200.200.160.150.100.05
………………12分
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ………………13分
17.（本小题满分14分）
(I) 连接 交 于点 ，连接
因为 为正方形，所以 为 中点，
又 为 中点，所以 为 的中位线，
所以 ………………2分
又 平面 ， 平面
所以 平面 ………………4分
（Ⅱ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系
所以
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ………………8分
（Ⅲ）因为 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，得 ，
令 则 ，所以可以取 ， ………………10分
因为 平面 ,取平面 的法向量为 ………………11分
所以 ………………13分
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ………………14分
18. （本小题满分13分）
解：当 时， ， ………………2分
又 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ………………4分
（II）
当 时，
又函数的定义域为
所以 的单调递减区间为 ………………6分
当 时，令 ，即 ，解得 ………………7分
当 时， ，
所以 ， 随 的变化情况如下表：
无定义
0
极小值
所以 的单调递减区间为 ， ，
单调递增区间为 ………………10分
当 时，
所以 ， 随 的变化情况如下表：
0
无定义
极大值
所以 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ， ………………13分
19. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）将 代入 ，得
所以抛物线方程为 ，焦点坐标为 ………………3分
（Ⅱ）设 ， ， ，
法一：
因为直线 不经过点 ，所以直线 一定有斜率
设直线 方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得：
则由韦达定理得：
………………6分
直线 的方程为： ，即 ，
令 ，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，
所以
………………13分
所以 ，即 为定值 ………………14分
法二：
设直线 方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得：
则由韦达定理得：
………………6分
直线 的方程为： ，即 ，
令 ，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，
………………12分
所以 ，即 为定值 ………………13分
20. （本小题满分14分）
解：（I）因为 且 ，
即 在 是增函数，所以 ………………1分
而 在 不是增函数，而
当 是增函数时，有 ，所以当 不是增函数时，
综上，得 ………………4分
(Ⅱ) 因为 ，且
所以 ，
所以 ，
同理可证 ，
三式相加得
所以 ………………6分
因为 所以
而 ， 所以
所以 ………………8分
(Ⅲ) 因为集合
所以 ，存在常数 ，使得 对 成立
我们先证明 对 成立
假设 使得 ，
记
因为 是二阶比增函数，即 是增函数.
所以当 时， ，所以
所以一定可以找到一个 ，使得
这与 对 成立矛盾 ………………11分
对 成立
所以 ， 对 成立
下面我们证明 在 上无解
假设存在 ，使得 ，
则因为 是二阶增函数，即 是增函数
一定存在 ， ，这与上面证明的结果矛盾
所以 在 上无解
综上，我们得到 ， 对 成立
所以存在常数 ，使得 ， ，有 成立
又令 ，则 对 成立，
又有 在 上是增函数 ，所以 ，
而任取常数 ，总可以找到一个 ，使得 时，有
所以 的最小值 为0 ………………13分