等比数列一轮复习专练
详细内容
等比数列一轮复习专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
等比数列的基本运算4、5、8、10、12
等比数列的性质2、3、9、13
等比数列的判定1、11、15
综合应用6、7、14
一、选择题
1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的 是( B )
(A)k为任意实数时,{an}是等比数列
(B)k=-1时,{an}是等比数列
(C)k=0时,{an}是等比数列
(D){an}不可能是等比数列
解析:∵Sn=3n+k(k为常数),
∴a1=S1=3+k,
n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,
当k=-1时,a1=2满足an=2×3n-1,{an}是等比数列,
当k=0时,a1=3不满足an=2 ×3n-1,{an}不是等比数列.
故选B.
2.(2013河北石家庄一模)已知等比数列{an},且a4+a8=2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( B )
(A)16(B)4(C)8(D)2
解析:a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6•a6+a6a10= +2a4•a8+ =(a4+a8)2=4.故选B.
3.(2013湖北华中师大附中模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1+a2=1,a3+a4=4,则a5+a6+a7+a8等于( A )
(A)80(B)20(C)32(D)
解析:由等比数列前n项和性质知,
S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比数列,
即1,4,a5+a6,a7+a8成等比数列,
∴a5+a6=16,a7+a8=16×4=64,
∴a5+a6+a7+a8=80.故选A.
4.(2013河北唐山市第三次模拟)若{an}为等比 数列,a2+a3=1,a3+a4=-2,则a5+a6+a7等于( B )
(A)-24(B)24(C)-48(D)48
解析:由已知得
解得q=-2,a1= ,
∴a5+a6+a7=a5(1+q+q2)=a1q4(1+q+q2)=24.故选B.
5.(2013铁岭模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,公比q=2,Sk+2-Sk=48,则k等于( D )
(A)7(B)6(C)5(D)4
解析:∵Sk= =2k-1,
∴Sk+2=2k+2-1,
由Sk+2-Sk=48得2k+ 2-2k=48,2k=16,k=4.
故 选D.
6.(2 013云南省玉溪一中高三月考)已知定义在R上的函数f (x)=ax(0
解析:由f(1)+f(-1)= ,得a+a-1= ,即a+ = ,解得a=2(舍去)或a= ,则数列{f(n)}是首项为a1 = ,公比q= 的等比数列,所以Sn= = × =1- n,由1- n= 得 n= ,解得n=5,故选B.
7.(2013山东省德州市乐陵一中高三月考)已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…),若a1=b1,a11=b11,则( A )
(A) a6>b6(B)a6=b6
(C)a6
解析:∵数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,a1=b1,a11=b11,
∴a1+a11=b1+b11,又bi>0(i=1,2,…)
∴2a6=b1+b11≥2 =2b6,
又q≠1,
∵q≠1,且bi>0(i=1,2,…),
∴b1≠b11,
∴a6>b6.故选A.
二、填空题
8.(2013山东师大附中第三次模拟)已知等比数列{an}的公比为正数,且a2•a6=9a4,a2=1,则a1= .
解析:由a2•a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,
解得q2=9,
所以q=3或q=-3(舍去),
所以由a2=a1q,
得a1= = .
答案:
9.(2013河南省洛阳市高三检测)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,3,…,且 a5•a2n-5=22n(n≥3),则log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= .
解析:∵a5•a2n-5= =…=22n,且an>0,
∴an=2n,
∴log2a2n-1=log222n-1=2n-1,
∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+2n-1= =n2.
答案:n2
10.(2012年高考辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列,且 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an= .
解析:∵2(an+an+2)=5an+1,
∴2an+2an•q2=5an•q,
即2q2-5q+2=0,
解得q=2或q= (舍去).
又∵ =a10=a5•q5,
∴a5=q5=25=32,
∴32=a1•q4,解得a1=2,
∴an=2×2n-1=2n,故an=2n.
答案:2n
11.(2013山东省泰安市高三期中)设数列{an}的前n项的和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,…),则log2S4等于 .
解析:因为an+1=Sn+1-Sn=3Sn,所以Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首项,q=4为公比的等比数列,所以S4=43,所以log2S4=log243=6.
答案:6
12.(2013年高考辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .
解析:依题意a1+a3=5,a1a3=4,
又数列{an}为递增数列,
∴解得a1=1,a3=4,
∴q2= =4,q=2,
∴S6= = =63.
答案:63
三、解答题
13.一个项数为偶数的等比数列{an},各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求此数列的通项公式.
解:设数列{an}的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶,
由题意知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.
∵数列{an}的项数为偶数,∴q= = .
又∵a1•a1q•a1q2=64,∴ •q3=64,
即a1=12.
故所求通项公式为an=12• .
14.(2013山东省泰安市高三期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4= .
(1)求数列{an}的通项公式 ;
(2)求证Sn< .
(1)解:设等比数列{an}的公比为q.
∵S1,2S2,3S3成等差数列
∴4S2=S1+3S3
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),
∴a2=3a3,
∴q= = .
又S4= ,
即 = ,
解得a1=1,
∴an= n-1.
(2)证明:由(1)得Sn=
=
= 1- n < .
15.(2013长春调研)已知数列{an}满足a1=1,an+ 1=2an+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 • • •…• =(an+1)n,求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)证明:∵an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
又a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0,
∴ =2,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴an+1=2n,可得an=2n-1.
(2)解:∵ • • •…• =(an+1)n,
∴ = ,
∴2(b1+b2+b3+…+bn)-2n=n2,
即2(b1+b2+b3+…+bn)=n2+2n,
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn= n2+n.