2014湛江一中高考数学5月模拟试卷（含答案理科）

详细内容

2014湛江一中高考数学5月模拟试卷（含答案理科）
一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ,
，则图中的阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
2.复数 （i是虚数单位）的共轭复数是
A． B． C． D．
3. 是等差数列，“a1＜a3”是“an＜an+1”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知平面向量 ， ， ，则
A． B. C． D.
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是
A． B． C． D．
6.已知 为第二象限角， ，则
A． B． C． D．

平面直角坐标系上有两个定点 和动点 ，如果直线 和 的斜率之积为定值
，则点 的轨迹不可能是(下列轨迹的一部分)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

定义域为R的函数f(x)= lg|x－2|，x ≠ 2 1 ，x=2 ，若关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不
同的实数解x1, x2, x3, x4, x5，则f(x1+x2+x3+x4+x5)等于
A．lg2B．2lg2C．3lg2D．4lg2

二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．每小题5分, 满分30分）
（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．
9． 的展开式中 的系数等于8，则实数 _________．

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为_____________．

11． _____________．

12.已知 的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．

13．定义max{a,b}= ，设实数x,y满足约束条件 ，z=max{4x+y，3x-y}， 则z的取值范围是　　　　　　　　．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题) 直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，则曲线 ： （ 为参数）的极坐标方程是_________.

15.(几何证明选讲选做题)如图,已知:△ 内接于圆 ，点 在 的 延长线上， 是圆 的切线，若 , ,则 的长为 .

三、解答题： 本大题共有6个小题，共80分，要求写出推演过程．
16．（本小题满分12分）
已知：
（1）求函数 的值域和最小正周期；
（2）写出 的单调递增区间．

17．(本小题满分12分)小明家订了一份报纸，
寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，
并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(Ⅰ)根据图中的数据信息，写出众数 ；
(Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间 在上午
之间，而送报人每天在 时刻
前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达
的可能性相等)．
①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸
(称为事件 )的概率；
②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸
的天数 的数学期望．

18. （本小题满分14分）如图， 是直二面角，四边形 为菱形，
且 ， ， ， 是 的中点，设 与平面 所成的角为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）试问在线段 （不包括端点）上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，
请求出 的长，若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分14分）已知数列 的前n项和 满足 ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明： ．

20、（本小题满分14分）已知 是抛物线 上的两个点，点 的坐标为 ，直线 的斜率为k， 为坐标原点．
（1）若抛物线 的焦点在直线 的下方，求k的取值范围；
（2）设C为W上一点，且 ，过 两点分别作W的切线，记两切线的交点为 ，求 的最小值．

21、已知函数
(1)　当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)　如果函数 ,在公共定义域 上，满足 ，
那么就称 为 的“活动函数”．
已知函数 .
①若在区间 上，函数 是 的“活动函数”，求 的取值范围；
②当 时，求证：在区间 上，函数 的“活动函数”有无穷多个．

湛江一中2014届高三5月数学(理科)综合测试
参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
题号12345678
答案BDAADC

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
9． ； 10． ； 11． ； 12． ； 13. 14． ； 15.
2、解析: ，则 答案：C
3、解析:a1＜a3 ,
答案：C
4、解析: ， 选D
5、解析:对于 ，而对于 ，则
，后面是 ，
不符合条件时输出的 .
6、解析： ，两边平方可得
是第二象限角，因此 ，
所以

解析:以AB的中点为原点，AB的所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，设
则 ，整理可得 ，
所以点 的轨迹不可能是抛物线。 答案：D
8、解：因方程方程 恰有5个不同的实数解，故x=2应是其中的一
个根，又f(2)＝1，故1+b+c=0c=－(b+1),于是有， 
[ f (x)－1][ f (x)+（1+b）]=0  [lg|x－2|－1][lg|x－2|+（1+b）]=0  四个根为－8，
12，  ＝f(10)＝3lg2,选C.
9、 中含 的一项为 ，令 ，则 ，即 ．量
10、解析：三视图为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面
圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 ．
11. .解析: ．量
12、 设 三边为 ， 则可得 所对的边最大，
由余弦定理得。
13．当 时， ，此时约束条件为 ，
得 ，当 时， ，同理得 ，即
14、解析：先将曲线 的参数方程化为直角坐标方程： ，从而有 ，即 .
解析：∵AD是圆O的切线，∠B=30°∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，
∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中，
OD=2AO=4，故答案为：4．

16、解：
………4分
（1）函数 的值域为[ ，4] ………6分;
函数f(x)的最小正周期 ………8分；
（2）∵ ………10分
∴ ；
∴ 的单调递增区间为 （ ） ………12分；

17、解：(1)众数 是频率分布直方图中频率最高的时间段的中点，
所以 ……2分
(2)①设报纸送达时间为 ，则小明父亲上班前能取到报纸
等价于 ，………………4分
如图可知，
事件A对应的区域为图中阴影梯形AECD，所有基本事件
对应区域为矩形ABCD，……………….......................5分
， ………………..........................6分
所求事件A的概率为 ………………..................................…8分
② 服从二项分布 ......……………...............................................…10分
故 (天)…………………...................................................…12分

18、证明： 是直二面角，平面PAD 平面ABCD=AD又 ,
-………………..........................…2分
……………….................................…3分
连接AC
…………………..........................................................4分
又 ,
............................................................................................6分
（2）法一(几何法)：假设存在，
由（1）知 ,过点A作
由三垂线定理知 .......................................................................8分
为二面角 的平面角为45°................................................9分
等腰 中 , 等边 ，
中，令 ....................10分
由等面积法， 知 ...................12分
解得 所以不存在这样点P . ...................14分
法二（向量法）：由（1）知， 两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为 轴建立空间直角坐标系A-xyz ...................7分
知 为 与平面 所成角
...................8分

设 （ ...................9分
设平面 的一个法向量为

平面 的一个法向量 ...................11分
.................12分
解得
所以不存在这样点P ....................14分

19、解：（1）由 ，得 ，
， ………1分
∵ ， ， 成等差数列，. ∴
………2分
解得 ………3分
（2）当 ， ，两式相减得
，即 ………4分
………5分
又 ， ………6分
是以 为首项，2为公比的等比数列。 ………7分
即　 ………8分
（3）证明： ………9分
………10分
…11分
………13分

………14分

20、（1）解：抛物线 的焦点为 . ……… 1分
由题意，得直线 的方程为 ， ……………… 2分
令 ，得 ，即直线 与y轴相交于点 . …………… 3分
因为抛物线 的焦点在直线 的下方，
所以 ，
解得 . ……………… 5分
（2）解：由题意，设 ， ， ，
联立方程 消去 ，得 ，
由韦达定理，得 ，所以 . ……………… 7分
同理，得 的方程为 ， . ……………… 8分
对函数 求导，得 ，
所以抛物线 在点 处的切线斜率为 ，
所以切线 的方程为 ， 即 . ………… 9分
同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 .…………10分
联立两条切线的方程
解得 ， ，
所以点 的坐标为 . ……………11分
因此点 在定直线 上. …………12分
因为点 到直线 的距离 ，
所以 ，当且仅当点 时等号成立． ……………13分
由 ，得 ，验证知符合题意.
所以当 时， 有最小值 . …………14分

21、解：（1）当 时， ， ； 1 分
对于 ，有 ，∴ 在区间 上为增函数，
∴ . 3 分
（2）①在区间 上，函数 是 的“活动函数”，
则
令 ，对 恒成立，
且 ，对 恒成立 5分
∵ (*)
1）若 ，令 ，得极值点 ， ，
当 ，即 时，在（ ，+∞)上有 ，
此时 在区间( ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈( ，+∞)，不合题意；
当 ，即 时，同理可知， 在区间(1，+∞)上，有
∈( ，+∞)，也不合题意； 7分
2） 若 ，则有 ，此时在区间(1，+∞)上恒有 ，从而 在区间 上是减函数；
要使 在此区间上恒成立，只须满足 ，
所以 . 9分
又因为 , 在 上为减函数，
， 所以 ，综合可知 的范围是[ , ]. 12分
另解：(接在(*)号后) 先考虑 , ,
在 递减，只要 , 得 ，解得 . 8分
而 对 且 有 .
只要 , ，解得 , 所以. . 12分
②当 时， ，
则 .
因为 ， 在 为增函数，
所以 .
设 , 则 , 所以在区间 上，函数 的“活动函数”有无穷多个.
其他如 等也可以. 14分