2013年高考数学各地名校文科立体几何试题解析汇编

详细内容

各地解析分类汇编:立体几何
1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设 是平面 内两条不同的直线， 是平面 外的一条直线，则“ ， ”是“ ”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
【答案】C
【解析】若直线 相交，则能推出 ，若直线 不相交，则不能推出 ，所以“ ， ”是“ ”的必要不充分条件，选C.
2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 的正方形，主视图与左视图是边长为 的正三角形，则其全面积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为 ，侧面积为 ，所以表面积为 ，选B.
3 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体 中， 则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心 在 上，可以证明 为 中点，
， ,所以 ，球半径 ，所以外接球的表面积为 ，选A.
4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】设直线m、n和平面 ,下列四个命题中，正确的是 （ ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
【答案】D
【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D
5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为
①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是
A.①B.②C.③D.④
【答案】C
【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.
6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16 B．4 C．8 D．2
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积 ，选B.
7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】设 是直线，a，β是两个不同的平面
A. 若 ∥a， ∥β，则a∥β B. 若 ∥a， ⊥β，则a⊥β
C. 若a⊥β， ⊥a，则 ⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则 ⊥β
【答案】B
【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。
8 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为 ，选C.
9 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A． B． C． D．32
【答案】B
【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台 ， ， ，所以表面积为 ，选B.
10 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】如图， 在长方体ABCD―A1B1C1D1中，对角线B1D与平面
A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】D
【解析】如图 ， ,所以 ,且 为 的中点，选D.
11 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】对于直线m，n和平面 ，有如下四个命题：
（1）若 （2）若
（3）若 （4）若
其中真命题的个数是
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】（1）错误。（2）当 时，则不成立。（3）不正确。当 有 ，又 所以有 ，所以只有（4）正确。选A.
12 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为
A．1B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为 ，是边长为2的正三角形， ，且 ，底面 为等腰直角三角形， ，所以体积为 ，故选B．
13 【天津市新华中学2012届高 三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是
A. 24 B. 12 C. 8 D. 4

【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为 ，所以三角形的底面积为 ，所以三棱柱的体积为 ，所以该几何体的体积为 ， 选B.
14 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是


【答案】D
【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。
15 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】设 为两个平面， 为两条直线，且 ，有如下两个命题：
①若 ；②若 . 那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】D
【解析】若 ，则 或 异面，所以①错误。同理②也错误，所以选D.
16 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】．正三棱锥 内接于球 ，且底面边长为 ，侧棱长为2，则球 的表面积为 ．
【答案】
【解析】 如图，设三棱锥 的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD= ，AB=AC=AD=2， ，M为正 的中心，则DM=1，AM= ，OA=OD=r，所以 ，解得 ，所以 ．
17 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱 ，则正三棱锥 外接球的表面积为____________.
【答案】
【解析】因为侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长 ，设外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 .
18 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

【答案】10
【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6, ，10显然面积的最大值为10．该四面体四个面的面积中最大的是 PAC，面积为1 0。
19 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A―EFB的体积V等于 。
【答案】
【解析】连结BD交AC与O ,则OA为四面体A―EFB的高且 , ,所以 。
20 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm² .
【答案】10，400π
【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：
由勾股定理可知， ，解得r =10.所以表面积为 。
21 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.

【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为 。
22 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分）
如图，正三棱柱 中，D是BC的中点，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
【答案】 （Ⅰ）证明：∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
∴BD是B1D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B1D
（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C. ………………………… 7分
∵DE 平面AB1D，A1C 平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分
（Ⅲ） ……13分
23 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（1）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD= ，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE 平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD ,CE=CD .
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
= = ,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于 ………….12分
24 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】（本小题满分14分）
如图，正三棱柱 中， 为
的中点， 为 边上的动点.
（Ⅰ）当点 为 的中点时，证明DP//平面 ；
（Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积.

【答案】

25 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分12分）如图，在长方体 ，中， ，点 在棱AB上移动.
（1）证明： ；
（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离.

【答案】解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 …………2分

（1） ………………6分
（2）因为 为 的中点，则 ，从而 ，
，设平面 的法向量为 ，则
也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为
………………………………………………12分
26 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】本小题满分12分）如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直． ∥ ， ， ， ．

（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）线段 上是否存在点 ，使 // 平面 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）证明：取 中点 ，连结 ， ．
因为 ，所以 ．
因为四边形 为直角梯形， ， ，
所以四边形 为正方形，所以 ．
所以 平面 ． 所以 ． ………………4分
（2）解法1：因为平面 平面 ，且
所以BC⊥平面
则 即为直线 与平面 所成的角
设BC=a，则AB=2a， ，所以
则直角三角形CBE中，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ………………8分
解法2：因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，所以 ．
由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，
则 ．
所以 ，平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ………8分
（3）解：存在点 ，且 时，有 // 平面 ．
证明如下：由 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则有
所以 取 ，得 ．
因为 ，且 平面 ，所以 // 平面 ．
即点 满足 时，有 // 平面 ． ………………12分
27 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】(本小题满分12分)如图，几何体 是四棱锥，△ 为正三角形， .
(1)求证： ；
(2)若∠ ，M为线段 AE的中点，求证： ∥平面 .

【答案】(I)设 中点为O，连接OC，OE，则由 知， ，…………2分

又已知 ，所以 平面OCE. …………４分
所以 ，即OE是BD的垂直平分线，
所以 .…………６分

(II)取AB中点N，连接 ，
∵M是AE的中点，∴ ∥ ，…………８分

∵△ 是等边三角形，∴ .
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即 ，
所以ND∥BC，…………1０分
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分
28 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分12分）
如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，
QA＝AB＝12PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

【答案】(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝22PD，则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解：设AB＝a.
由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高， 所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝13a3.
由(1)知PQ 为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝2a，△DCQ的面积为22a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝13a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1:1.
29 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P―ABCD中，平面 平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8， .
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P―ABCD的体积.
【答案】


30 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥 中， ⊥ ， 为 的中点， 为 的中点，且△ 为正三角形．
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）若 ， ，求点 到平面 的距离．
【答案】（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD//AP，∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC， ，
∴BC⊥平面APC， …………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：记点B 到平面MDC的距离为h，则有 .
∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3， ， ，
∴ ．
又 ， ．
在 中， ，
又 ， ，
，
即点B到平面MDC的距离为 ． ……………………………………………（12分）
31 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分）
如图，在多面体ABC―A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C =A1B，B1C1//BC， .
（I）求证：面 ；
（II）求证：AB1//面A1C1C.
【答案】

32 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图， 为等边三角形， 为矩形，平面 平面 ， ， 、 、 分别为 、 、 中点， 。

（1）求 与平面 所成角；
（2）求证： ；
（3）求多面体 的体积。
【答案】解：（1）取 中点 ，连 、
∵平面 平面 ，交线为
∵正
∵
平面
即为所求。


（2）∵正
∵ 是 中点


∵平面 平面 ，交线为

平面 平面


平面
（3）

33 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分12分）
如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求三棱锥 的体积．
【答案】解: （Ⅰ）以D为原点建立如图空间直角坐标系，则
从而
因为
所以