八年级数学上册第一章勾股定理导学案（2013新北师大版）

详细内容

第一章 勾股定理导学案
第1课时 探索勾股定理（1）
编写人： 时间：8月30日 姓名：
学习目标：
1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。
2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。
学习过程：
一、课前预习：
1、三角形按角的大小可分为： 、 、 。
2、三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和 ；任意两边之差 。
3、直角三角形的两个锐角 ；
4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则 这个直角三角形的面积可以表示为： 。
二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：
（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；

直角三角形1直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系
34

直角三角形2直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系
513

（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?
（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：

三、合作探究：：
如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？

图形A的面积B的面积C的面积A、B、C面积的关系
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
思考：
每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：
直角三角形 等于 ；
几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°， 则： ；
若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为： 。
四、课堂练习：
1、求下图中字母所代表的正方形的面积

2、求出下列各图中x的值。

3.如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

五、当堂检测：
1．在△ABC中，∠C=90°，
（1）若BC=5，AC=12，则AB= ；
（2）若BC=3，AB=5，则AC= ；
（3）若BC∶AC=3∶4，AB=10，则BC= ，AC= .
（4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .
3．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。
4．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 .
5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20┩，则斜边上的高为 。
能力提升：
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
7.一个直角三角形的三边长为3、4和a，则以a为半径的圆的面积是 。

8.如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，
AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。
9．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则其面积为 ．
10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求△ABC的周长。

第2课时 探索勾股定理（2）
编写人： 时间：8月30日 姓名：
学习目标：
1、掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。
2、能运用勾股定理解决一些实际问题。
学习过程：
一、知识回顾：
1、勾股定理：
2、求下列直角三角形的未知边的长

3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为 ， ，斜边为 ：
（1）如果 ， ，则 ，面积为 ；
（2）如果 ， ，则三角形的周长为 ，面积为 ；
二、自主学习：
利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：
活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：
1．拼成的图1中有_______个正方形， ___个直角三角形。
2．图中大正方形的边 长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？

活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？

思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？
三、合作探究：
例1 、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？

四、当堂检测：
基础巩固：
1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________；
2、如图，阴影部分的面积为 ；
3、一个直角三角形的三边分别为3，4， ，则
4、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积为 ；
5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；
7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ；
8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ；
能力提升：
9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距
10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元ㄍ千米，该沿江高速的造价是多少？

11.如图，AB是电线杆，从距离地面12M高的A处，向离电杆5M的B处埋线，并埋入地下1.5M深，求拉线长多少米

12、．如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。
13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6┩，BC=8┩，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长

15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？

第3课时 能得到直角三角形吗
编写人： 时间：8月30日 姓名：
学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。
学习过程：
一、复习回顾：
勾股定理：
条件：
结论：
二、自主学习：
1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?
(1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15
2、勾股逆定理：
条件：
结论：
3、勾股数： 。
下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。
（1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （３）12，35，36 （4）15,36,39

三、合作探究：
例1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
　　　　
例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。
2倍3倍4倍
3,4,56,8,10
5,12,1315,36,39
8,15,1732,60,68
7,24,25

（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。

四、当堂检测：
基础巩固：
1. 下列说法正确的是( )
A. 若a、b、c是 的三边，则
B. 若a、b、c是 的三边，则
C. 若a、b、c是 的三边 ，则
D. 若a、b、c是 的三边 ，则
2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ 　　）
Ａ、８，15，17；　Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40
3、下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A、4，5，6 B、12，16，20 C、-10，24，26 D、2.4，4.5，5.1
4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（　　　）
Ａ、等腰三角形 Ｂ、直角三角形
Ｃ、等腰直角三角形　 Ｄ、等腰三角形或直角三角形
5、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来? ?
A．13，12，12 ； B．12，12，8； C．13，10，12 ； D．5，8，4
6、三角形的三边长a, b, c满足等式（a+b） -c =2ab,则此三角形的是 三角形。
7、如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的面积为

8、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为
边的三角形是直角三角形。
9.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。
10、如果三条线段a、b、c满足a2=c2−b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？

能力提升：
11、如图，在∆DEF中，DE=17cm, EF=30cm, EF边上的中线DG=8cm，问∆DEF是等腰三角形吗？为什么？

12、已知：在△ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。试判断△ABC的形状.

13、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。

14、如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，D是AB上的一点，且CD=16，BD=12，ㄓACD的形状，并求ㄓABC的周长。

15、若ㄓA BC三边长分别为a,b,c,且满足条a +b +c +338=10a+24b+26c,试判断ㄓABC的形状，并证明为什么。

第4课时 勾股定理的应用
编写人： 时间：8月30日 姓名：
学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。
学习过程：
一、复习回顾：
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15
2、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。
3、 圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。
4、圆的周长公式是 ___。
5、在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。

二、自主学习：
活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).

活动二：
一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、 12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是：
___________ .
活动三：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗？

三、当堂检测：
基础巩固：
1、 下列说法正确的是( )
A. 若a、b、c是 的三边，则
B. 若a、b、c是 的三边，则
C. 若a、b、c是 的三边 ，则
D. 若a、b、c是 的三边 ，则
2、在△ABC中, ∠C=90°，c=25, b=15,则a= .
3、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是 ．
4、三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2 ，以这三条线段为边组成的三角形为
5、.如图，直线l上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则b的面积为 。

6、编制一个底面周长为8、高为6的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的 ，…则每一根这样的竹条的长度最少是_________。
7、 一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有240cm高，宽100cm．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？说明理由．

8、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？

9、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？

能力提升：
10、如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走
最近？并求出最近距离．

11、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

12、如图所示，有一高4┩，底面直径为6┩的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？

第5课时 勾股定理复习课导学案
编写人： 时间：9月5日 姓名：
学习目标
1、记住勾股定理和逆定理的内容。
2、熟练掌握常见的勾股数。
3、会运用勾股定理及逆定理解决问题。
学习过程：
一、复习回顾：
1. 自主梳理
（1）、勾股定理： 。
（2）、勾股定理的逆定理： .
(3)、满足 的三个正整数，称为勾股数。例如： 。
2. 点对点应用训练
（1）在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长的平方为______．
（2）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是______________．
（3）一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
（4）分别以下列四组数为一个三角形的边长：3、4、5；5、12、13；8、15、17；
4、5、6，其中能够成直角三角形的有
（5） 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
（6）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆
柱的高为8cm，圆柱的底面半径为 cm，那么最短 B
的路线长是（ ）

A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10 cA
二、例题研究
例1、如图己知 求四边形ABCD的面积

例2、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

三、巩固练习
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10
2．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
3．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能
5． 在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）b=8，c=17 ，则 =
6．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段长的平方为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
7. 在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________
8．等腰三角形的周长是16cm,底边长是6cm,则底边上的高是____________
9.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=
10.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7 ，8 ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________ ．
11.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
12.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （ 取3）
13.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是
14.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，
则该地毯的长度至少是 米。