2015届高考数学（文科）一轮总复习数列

详细内容

第六篇 数列
第1讲　数列的概念与简单表示法

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是________．
解析　由an＋1＝an＋2＋an，得an＋2＝an＋1－an，
∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－2，
a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－3.
答案　－3
2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1a5＝________.
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1nn＋1，∴1a5＝5×(5＋1)＝30.
答案　30
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝______.
解析　由an＋1－an＝n＋1，可得an－an－1＝n，
an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，
…
a3－a2＝3，a2－a1＝2，
以上n－1个式子左右两边分别相加得，
an－a1＝2＋3＋…＋n，
∴an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝nn＋12＋1.
答案　nn＋12＋1
4．(2014•贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝________.
解析　a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.
答案　10
5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________．
解析　法一　(构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴an＋1n＋1＝ann，∴数列ann是常数列．
且ann＝a11＝1，∴an＝n.
法二　(累乘法)：n≥2时，anan－1＝nn－1，an－1an－2＝n－1n－2.
…
a3a2＝32，a2a1＝21，
两边分别相乘得ana1＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.
答案　n
6．(2013•蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析　易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案　10或11
7．(2014•广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则数列{an}的通项公式为________．
解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，两式左右两边分别相减得3n－1an＝13，∴an＝13n(n≥2)．由题意知，a1＝13，符合上式，∴an＝13n(n∈N*)．
答案　an＝13n
8．(2013•淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．

解析　每行的第二个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式两边同时相加得an－a2＝2n－3＋3×n－22＝n2－2n，
所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66.
答案　66
二、解答题
9．(2013•梅州调研改编)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解　∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴ ＝－2n，∴an－1an＝－2n.
∴a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1.
∵an＞0，∴an＝n2＋1－n.
(2)证明　an＋1an＝n＋12＋1－n＋1n2＋1－n
＝n2＋1＋nn＋12＋1＋n＋1＜1.
∵an＞0，∴aa＋1＜an，∴数列{an}是递减数列．
10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式，
故an＝a，n＝1，2×3n－1＋a－32n－2，n≥2.
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－212•32n－2＋a－3，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12•32n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝411－2n，则满足an＋1＜an的n的取值为________．
解析　由an＋1＜an，得an＋1－an＝49－2n－411－2n＝89－2n11－2n＜0，解得92＜n＜112，又n∈N*，∴n＝5.
答案　5
2．(2014•湖州模拟)设函数f(x)＝3－ax－3，x≤7，ax－6，x>7，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
解析　∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，
∴3－a>0，a>1，f8>f7⇒2答案　(2,3)
3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案　28
二、解答题
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)设a1>0，数列lg10a1an的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．
解　(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③
若a2＝0，由①知a1＝0.
若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①④解得，a1＝2＋1，a2＝2＋2；
或a1＝1－2，a2＝2－2.
综上可得，a1＝0，a2＝0；或a1＝2＋1，a2＝2＋2；或a1＝1－2，a2＝2－2.
(2)当a1>0时，由(1)知a1＝2＋1，a2＝2＋2.
当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an－1＝S2＋Sn－1，
∴(1＋2)an＝(2＋2)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴an＝a1(2)n－1＝(2＋1)•(2)n－1.令bn＝lg10a1an，
则bn＝1－lg(2)n－1＝1－12(n－1)lg 2＝12lg1002n－1.
∴数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b1>b2>…>b7＝lg108>lg 1＝0，
当n≥8时，bn≤b8＝12lg100128<12lg 1＝0，
故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为
T7＝7b1＋b72＝71＋1－3lg 22＝7－212lg 2.