2015届高考数学教材知识点复习变化率与导数导学案

详细内容

【学习目标】
1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
预 习 案
1．导数的概念
(1)f(x)在 处的导数就是f(x)在 处的 ，记作： 或
即

(2)当把上式中的 看做变量x时，f′(x)即为f(x)的 ，简称导数，即

3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝ (C为常数)；　　 (2)(xn)′＝ (n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝ ；　　 (4)(cosx)′＝ ；
(5)(ax)′＝ ；　　 (6)(ex)′＝ ；
(7)(logax)′＝ ；　　 (8)(lnx)′＝ .
4．两个函数的四则运算的导数
若u(x)、v(x)的导数都存在，则
(1)(u±v)′＝ ；　(2)(u•v)′＝ ；
(3)(uv)′＝ ；　(4)(cu)′＝ (c为常数)．
【预习自测】
1．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是(　　)
A．14 m/s2 B．4 m/s2 C．10 m/s2 D．－4 m/s2
2．计算：(1)(x4－3x3＋1)′＝________. (2)(ln1x)′＝________.
(3)(xe2x)′＝________. (4)函数y＝log2(ax3)的导数为________．

3．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．

4．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2 B．k15.若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.

探 究 案
题型一 利用定义求系数
例1　(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．

(2)设f(x)＝x3－8x， 则limΔx→0 f2＋Δx－f2Δx＝______；
limx→2 fx－f2x－2＝______； limk→0 f2－k－f22k＝______.
探究1.　（1）已知f′(a)＝3，则limh→0 fa＋3h－fa－hh＝________.
(2)求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率

题型二 导数的运算
例2.　求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx2cosx2；

(3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝lnxx2＋1.

（5）y＝－sinx2(1－2cos2x4)； （6）y＝tanx；

题型三 复合函数的导数
例3.求下列函数的导数：
(1)y＝e2xcos3x； (2)y＝lnx2＋1；

(3)y＝(2x－3)5. (4)f(x)＝ln(x－1)2；

(5)f(x)＝cos(π3－2x)； (6)f(x)＝e－2xsin(2x)．

题型四 导数的几何意义
例4.已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

探究2.　求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．

拓展：1.若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

2.若曲线y＝32x2＋x－12的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切点坐标为________，切 线方程为________

我的学习总结：
（1）我对知识的总结 .
（2）我对数学思想及方法的总结