2012届高考数学知识圆锥曲线复习讲义

详细内容

高中数学复习讲义第九章圆锥曲线
【知识图解】

【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

第1课　椭圆A
【考点导读】
1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;
2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
2.椭圆的离心率为
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
4. 已知椭圆的离心率，则的值为
【范例导析】
例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
由椭圆的定义知，
，
∴ ，又∵ ，∴ ，
所以，椭圆的标准方程为。
（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为，
∵点P（3,0）在该椭圆上∴ 即又，∴ ∴椭圆的方程为 .
②若焦点在y轴上，设方程为，
∵点P（3,0）在该椭圆上∴ 即又，∴ ∴椭圆的方程为
方法二：设椭圆方程为 .∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即 ,又 ∴ ， ∴椭圆的方程为或 .
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中
.
例2.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P( , ),则 =（ +6, ）, =（－4, ）,由已知可得
则2 +9 －18=0, = 或 =－6.
由于 >0,只能 = ,于是 = . ∴点P的坐标是( , )
(2) 直线AP的方程是－ +6=0. 设点M( ,0),则M到直线AP的距离是 .
于是 = ,又－6≤ ≤6,解得 =2. 椭圆上的点( , )到点M的距离有
,
由于－6≤ ≤6, ∴当 = 时,d取得最小值
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】
1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
3.椭圆 =1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍
4.若椭圆的离心率 ,则的值为
5.．椭圆的右焦点到直线的距离为
6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，- ）的椭圆的标准方程是或
7.椭圆上的点到直线的最大距离是
8. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．
从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．

第2课　椭圆B
【考点导读】
1.掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;
2.能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
1.曲线与曲线的（D）
A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等
2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是
3 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是
【范例导析】
例1.椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。
求离心率e的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.
解：设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①
又由点M在椭圆上，得y2=b2 ，代入①，得x2-c2 ，即。
∵0≤ ≤ ，∴0≤ ≤ ，即0≤ ≤1，0≤ ≤1，解得 ≤ ≤1。
又∵0＜＜1，∵ ≤ ≤1.
例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标.
分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b= =3.
故椭圆方程为 =1.

(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为x= ,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|= ( －x1),|F2C|= ( －x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 ( －x1)+ ( －x2)=2× ,由此得出：x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0= =4.

【反馈练习】
1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为
3.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为
4.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12
5.椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．
求证: ；
证明：由椭圆方程知，，．
由圆锥曲线的统一定义知：，∴ ．
同理．
∵ ，且，
∴ ，即．

第3课　双曲线
【考点导读】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
2.能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
2. 方程表示双曲线，则的范围是
3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为
4. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为
【范例导析】
例1. (1) 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程;
（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 ①；
∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得，
∴ 即双曲线的标准方程为。
点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：
当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为
∵ ，∴ ①
∵ 在双曲线上
∴ ②
由①－②，得方程组无解
当焦点在y轴时，设双曲线方程为
∵ ，∴ ③
∵ 在双曲线上，∴ ④
由③④得，
∴所求双曲线方程为：且离心率
解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
∵点在双曲线上，∴
∴所求双曲线方程为：，即．
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．
例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图:
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，
同理得到点（－1，0）到直线的距离

由即
于是得
解不等式，得由于所以的取值范围是
点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.

【反馈练习】
1.双曲线的渐近线方程为
2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为
3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是
4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若 =3,则 =7
5.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程
6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．
（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：（1）设所求双曲线方程为：，则，
∴ ，∴ ，∴所求双曲线方程为
（2）∵ ，∴ 或，∴渐近线方程为
当焦点在轴上时，由且，得．
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时，由，且，得．
∴所求双曲线方程为
7.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值．
解：由过两点，，得的方程为．
由点到的距离为，得．
将代入，平方后整理，得．
令，则．解得或．
而，有．故或．
因，故，
所以应舍去．故所求离心率．
说明：此题易得出错误答案：或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率．而，故应舍去．
8.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）对于（2）中的点，求的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得
∴ 双曲线方程为；
（2）由（1）可知，，， ∴ ，
∴ ，， ∴ ，
又点在双曲线上， ∴ ，
∴ ，即；
（3） ∴ 的面积为6．

第4课　抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值

【范例导析】
例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．
解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，
∴d=｜PA｜=
= = ．
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x0=0时，dmin= =a．
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0=a－1时，dmin= ．
例2.如图所示，直线和相交于点M， ⊥ ，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标
令则，
∴由两点间的距离公式，得方程组：解得或
∵△AMN为锐角三角形，∴ ，则，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为

【反馈练习】
1.抛物线的准线方程是
2.抛物线的焦点到其准线的距离是
3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为
4.抛物线上的点到直线距离的最小值是
5.若直线l过抛物线 (a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=
6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=－25y.

由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．
分析：可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.

解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得 ∴所求抛物线方程为
（2）证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：
在直角梯形中：

，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

第5课　圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
1.了解圆锥曲线的第二定义.
2.能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线的焦点的坐标是 , 准线方程是
2..如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2

3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则 =
4.点M与点F 的距离比它到直线: 的距离小1,则点的轨迹方程是
【范例导析】
例1.已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．
分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．
解：∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为
①若，则，
∴准线方程为：，∴ ，∴
②若，则，
∴准线方程为：，∴ ，∴
∴所求双曲线方程为：或
点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.
例2.已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．
解：∵ ，，∴ ，∴
设点到与焦点相应准线的距离为则
∴ ，∴
至此，将问题转化成在双曲线上求一点，
使到定点的距离与到准线距离和最小．
即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，
解之得，点．
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

【反馈练习】
1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则
2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
3.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为
4 　双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8

第6课　圆锥曲线综合
【考点导读】
1.在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.
2.通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.
【基础练习】
1. 给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；
③抛物线；
④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是4
2.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为
3.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是
【范例导析】
例1. 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为
由可得
因此
过A点的切线方程为 (1)
过B点的切线方程为 (2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到 =0 即为定值
（2） =0可得三角形面积

所以
当且仅当时取等号
点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大

【反馈练习】
1.已知双曲线的中心在原点，离心率为 .若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是
2.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则
3.设P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是
4.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
5. 双曲线C与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是
6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则点到椭圆右焦点的距离等于__2 _
7.如图，点A是椭圆C：的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，＝9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.

8.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．求圆的方程.
解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即 =4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

9.已知动圆过定点，且与直线相切，其中 ,求动圆圆心的轨迹的方程.
解：如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线
所以轨迹方程为；

2012届高考数学知识圆锥曲线复习讲义

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