高考数学理科一轮复习函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及性质学案

详细内容

学案20　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
导学目标： 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

自主梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

X
Ωx＋φ
y＝
Asin(ωx＋φ)0A0－A0

2.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：
（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．
（2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．
（3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(03．当函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．
函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为________．
自我检测
1．(2011•池州月考)要得到函数y＝sin2x－π4的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移π8个单位
B．向右平移π8个单位
C．向左平移π4个单位
D．向右平移π4个单位
2．已知函数f(x)＝sinωx＋π4 (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是 (　　)
A.π2B.3π8C.π4D.π8
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 (　　)
A．向左平移π8个单位长度
B．向右平移π8个单位长度
C．向左平移π4个单位长度
D．向右平移π4个单位长度
4．(2011•太原高三调研)函数y＝sin2x－π3的一条对称轴方程是 (　　)
A．x＝π6B．x＝π3
C．x＝π12D．x＝5π12
5．(2011•六安月考)若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 (　　)
A．1 B.2 C.3 D．2

探究点一　三角函数的图象及变换
例1 　已知函数y＝2sin2x＋π3.
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

变式迁移1　设f(x)＝12cos2x＋3sin xcos x＋32sin2x (x∈R)．
(1)画出f(x)在－π2，π2上的图象；
(2)求函数的单调增减区间；
(3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？

探究点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．

变式迁移2　(2011•宁波模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f(4θ)的值．

探究点三　三角函数模型的简单应用
例3 　已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t03691215182124
y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

变式迁移3　交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6表示，求：
(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．

数形结合思想的应用
例 　(12分)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求α＋β的值．
【答题模板】
解　(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，
作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．
[3分]
由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1<－a2<1－a2≠32.
即－2(2)由图知：当－3∴α＋β＝7π3.[8分]
当－2由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分]
综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π. [12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．
图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x＝x的实根个数；⑤对称问题等．
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－3时，方程只有一解．

1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y＝sin x的作用．
2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．
3．三角函数模型应用的解题步骤：
(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 (　　)
A．y＝sin 12xB．y＝sin12x－π2
C．y＝sin12x－π6D．y＝sin2x－π6
2．(2011•银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 (　　)

A．y＝sinx＋π6
B．y＝sin2x－π6
C．y＝cos4x－π3
D．y＝cos2x－π6
3．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象 (　　)
A．向左平移5π12个单位长度
B．向右平移5π12个单位长度
C．向左平移5π6个单位长度
D．向右平移5π6个单位长度
4．(2009•辽宁)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)等于 (　　)

A．－23B．－12
C.23D.12
5．(2011•烟台月考)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 (　　)
A．y＝4sin4x＋π6B．y＝2sin2x＋π3＋2
C．y＝2sin4x＋π3＋2D．y＝2sin4x＋π6＋2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

7．(2010•潍坊五校联考)函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移π4个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)＝______.
8．(2010•福建)已知函数f(x)＝3sinωx－π6 (ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是____________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R)的图象的一部分如下图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，－23]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

10．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)．又f(x)的图象关于点N3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f(x)的解析式．

11．(14分)(2010•山东)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)•cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π，
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间0，π16上的最小值．

答案 自主梳理
1.0－φω　π2－φω　π－φω　3π2－φω　2π－φω　0　π2　π　3π22π　2.(1)左　右　|φ|　(2)伸长　缩短　1ω　(3)伸长　缩短　A　3.A　2πω　1T　ωx＋φ　φ　2π|ω|　π|ω|
自我检测
1．B　2.D　3.A　4.D　5.B
课堂活动区
例1 　解题导引　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．
解　(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.
(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sin X.
列表：
X－π6
π12
π3
7π12
5π6

X0π2
π3π2
2π
y＝sin X010－10
y＝2sin2x＋π3
020－20
描点连线，得图象如图所示：

(3)将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin 2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin2x＋π3的图象．
变式迁移1　解　y＝12•1＋cos 2x2＋32sin 2x＋32•1－cos 2x2
＝1＋32sin 2x－12cos 2x＝1＋sin2x－π6.
(1)(五点法)设X＝2x－π6，
则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，
于是五点分别为π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．

(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
得单调增区间为－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.
由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得单调减区间为π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.
(3)把y＝sin x的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin2x－π6＋1的图象．
例2 　解题导引　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
解　由图象可知A＝2，T＝8.
∴ω＝2πT＝2π8＝π4.
方法一　由图象过点(1,2)，
得2sinπ4×1＋φ＝2，
∴sinπ4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.
方法二　∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．
∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.
变式迁移2　解　(1)由题意可得：
A＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，
f(x)＝2sin12x＋φ，f(0)＝2sin φ＝1，
由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin(12x＋π6)．
f(x0)＝2sin12x0＋π6＝2，
所以12x0＋π6＝2kπ＋π2，x0＝4kπ＋2π3 (k∈Z)，
又∵x0是最小的正数，∴x0＝2π3.
(2)f(4θ)＝2sin2θ＋π6
＝3sin 2θ＋cos 2θ，
∵θ∈0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－79，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，
∴f(4θ)＝3×429－79＝46－79.
例3 　解题导引　(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A＝ymax－ymin2；②k＝ymax＋ymin2；③ω＝2πT；④φ由特殊点确定．
解　(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝2πT＝2π12＝π6，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝12cos π6t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴12cos π6t＋1>1，∴cos π6t>0，
∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k∈Z，
即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，
得0≤t<3，或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3　解　(1)t＝0时，E＝2203sin π6＝1103(伏)．
(2)T＝2π100π＝0.02(秒)．
(3)当100πt＋π6＝π2，t＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．
课后练习区
1．C　2.D　3.A　4.C　5.D
6.9π10
7．－sin 2x
8.－32，3
9．解　(1)由图象知A＝2，
∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.
∵|φ|<π2，∴φ＝π4.
∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．………………………………………………………………………(5分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(π4x＋π4)＋2sin(π4x＋π2＋π4)
＝22sin(π4x＋π2)＝22cosπ4x.……………………………………………………………(8分)
∵x∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x≤－π6.
∴当π4x＝－π6，即x＝－23时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；
当π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.………………………(12分)
10．解　根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，
则有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，
即sin ωxcos φ＝0，
∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋π2 (k∈Z)．
而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)
再由f(x)＝2sin(－ωx＋π2)＝2cos ωx的图象关于点N3π4，0对称，f(3π4)＝2cos(3ω4π)＝0
∴cos 3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)
即3ω4π＝kπ＋π2 (k∈Z)，ω＝43k＋12 (k∈Z)．
又0<ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)
最后根据f(x)在区间[0，π]上是减函数，
可知只有ω＝23满足条件．
所以f(x)＝2cos 23x.………………………………………………………………………(12分)
11．解　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx
＝sin ωxcos ωx＋1＋cos 2ωx2
＝12sin 2ωx＋12cos 2ωx＋12
＝22sin2ωx＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)
由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，
所以g(x)＝f(2x)
＝22sin4x＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)
当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2.
所以22≤sin4x＋π4≤1.
因此1≤g(x)≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)