高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案
详细内容
学案8 对数与对数函数
导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．
自主梳理
1．对数的定义
如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质(a>0且a≠1)
① ＝____；② ＝____；
③ ＝____；④ ＝____.
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
② ＝ ，推广 ＝________.
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝___________________________；
②logaMN＝______________________；
③logaMn＝__________(n∈R)；
④ ＝nmlogaM.
3．对数函数的图象与性质
a>10
象
性
质(1)定义域：______
(2)值域：______
(3)过点______，即x＝____时，y＝____
(4)当x>1时，______
当0
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
自我检测
1．(2010•四川)2log510＋log50.25的值为( )
A．0B．1C．2D．4
2．(2010•辽宁)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为( )
A.10B．10C．20D．100
3．(2009•辽宁)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)的值为( )
A.124B.112C.18D.38
4．(2010•安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f(13)＝0，则满足 >0的x的取值范围是( )
A．(0，＋∞)B．(0，12)∪(2，＋∞)
C．(0，18)∪(12，2)D．(0，12)
5．(2011•台州期末)已知0
探究点一 对数式的化简与求值
例1 计算：(1) ；
(2)12lg3249－43lg8＋lg245；
(3)已知2lgx－y2＝lg x＋lg y，求 .
变式迁移1 计算：
(1)log2748＋log212－12log242－1；
(2)(lg 2)2＋lg 2•lg 50＋lg 25.
(满分：75分) 10．(12分)(2011•北京东城1月检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
探究点二 含对数式的大小比较
例2 (1)比较下列各组数的大小．
①log323与log565；
②log1.10.7与log1.20.7.
(2)已知log12b
变式迁移2 (1)(2009•全国Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>a>cD．b>c>a
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝ ，(12)b＝ ，(12)c＝log2c，则( )
A．a
例3 已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
变式迁移3 (2010•全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lg x|，若0
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
分类讨论思想的应用
例 (12分)已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，a≠1)．
(1)解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.
【答题模板】
(1)解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0
∴1－ax>0，1－ax<1－a.，即ax<1，ax>a.∴0
(2)证明 设x1
∴a>1时，f(x)的定义域为(－∞，0)；[6分]
0
∴ >1.∴ <0.
∴f(x2)
【突破思维障碍】
解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或0
1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
2．用对数函数的性质比较大小
(1)同底数的两个对数值的大小比较
例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，
其中a>0且a≠1.
①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.
②若0
图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0
(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)>logag(x)等价于0
(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解．
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010•北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于 ( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010•全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－12，则( )
A．a
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2011•济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有 ( )
A．f(13)
A.12B.14C．2D．4
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．2lg 5＋23lg 8＋lg 5•lg 20＋lg22＝________.
7．(2011•湖南师大附中检测)已知函数f(x)＝lgax＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
11．(14分)(2011•郑州模拟)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
答案 自主梳理
1．ax＝N(a>0，且a≠1) x＝logaN a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①logaNlogab ②logad (3)①logaM＋logaN ②logaM－logaN ③nlogaM 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y>0 y<0 (5)y<0 y>0(6)增 (7)减 4.y＝logax y＝x
自我检测
1．C 2.A
3．A [因为3<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4，故f(3＋log23)＝123＋log23＝123•13＝124.]
4．B [由题意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|log18x|)>f(13)，f(x)在[0，＋∞)上递增，于是|log18x|>13，解得x的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]
5．m>n
解析 ∵m<0，n<0，∵mn＝logac•logcb＝logab
课堂活动区
例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．
解 (1)方法一 利用对数定义求值：
设 ＝x，
则(2＋3)x＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，
∴x＝－1.
方法二 利用对数的运算性质求解：
＝
＝ ＝－1.
(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋
12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5
＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12.
(3)由已知得lg(x－y2)2＝lg xy，
∴(x－y2)2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴(xy)2－6(xy)＋1＝0.∴xy＝3±22.
∵x－y>0，x>0，y>0，∴xy>1，∴xy＝3＋22，
∴log(3－22)xy＝log(3－22)(3＋22)
＝log3－2213－22＝－1.
变式迁移1 解 (1)原式＝log2748＋log212－log242－log22
＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.
(2)原式＝lg 2•(lg 2＋lg 50)＋lg 25
＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.
例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．
解 (1)①∵log323
∴0>log0.71.1>log0.71.2.
∴1log0.71.1<1log0.71.2，
由换底公式可得log1.10.7
方法二 作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，
如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7
且log12b
而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.
变式迁移2 (1)A [a＝log3π>1，b＝12log23，则12
(2)A [∵a，b，c均为正，
∴log12a＝2a>1，log12b＝(12)b∈(0,1)，
log2c＝(12)c∈(0,1)．
∴0
解 ∵f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图象如右图．
由图示，可使x∈[13，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f(13)|≤1，即－1≤loga13≤1，
即logaa－1≤loga13≤logaa，
亦当a>1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；
当0
变式迁移3 C
[画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．∵0
∴－lg a＝lg b ，ab＝1.
∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，
又0
课后练习区
1．C [∵x≥0，∴y＝(12)x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．
当0
∴1a>1b>1，∴0
b＝ln 2>ln e＝12，∴b>12.
c＝5－12＝15<12，∴c
f(a)>f(－a)，即log2a> ＝log21a，
∴a>1a，解得a>1.
②当a<0时，f(a)＝ ，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)>f(－a)，即 >log2(－a)＝ ，
∴－a<1－a，解得－1
4．C [由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，
∴f(12)
6．3
7．(1,2)
解析 因为f(x)＝lga＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，所以g(x)＝a＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即1
解析 令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.
9．解 ∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分)
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解 (1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则x＋1>0，1－x>0，解得－1
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，故f(x)为奇函数．………………………………………………………………(8分)
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1
解得0
(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则 > >0， ，所以 > >0，
即 > ．故f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分)
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)