2012届高考数学统计、统计案例第一轮基础知识点复习教案

详细内容

第十一编 统计、统计案例

§11.1 抽样方法

1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，总体的一个样本是 .
答案 200个零件的长度
2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 .
答案 ①②③
3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 .
答案 3，9，18
4.（2008•广东理）某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 .
一年级二年级三年级
女生373xy
男生377370z
答案 16
5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n= .
答案 80

例1 某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请
用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
解 抽签法：
第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3，…，18.
第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.
随机数表法：
第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03，…，18.
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的数7开始，向右读；
第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01―18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09.
第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.
例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.
解 （1）将每个人随机编一个号由0001至1003.
（2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除.
(3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000.
（4）分段，取间隔k= =100将总体均分为10段，每段含100个工人.
（5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l.
（6）按编号将l，100+l，200+l,…，900+l共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本.
例3 （14分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人
的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.
解 应采取分层抽样的方法.3分
过程如下：
（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.5分
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.
300× =60（人）；300× =40（人）；
300× =100（人）；300× =40（人）；
300× =60（人），10分
因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人.12分
（3）将300人组到一起即得到一个样本.14分
例4 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采
取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.
根据上面的叙述，试回答下列问题：
（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？
（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？
（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.
解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；
第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；
第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.
（3）第一种方式抽样的步骤如下：
第一步，首先用抽签法在这20个班中任意抽取一个班.
第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步，首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a.
第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人.
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.
第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为：100∶1 000=1∶10，所以在每个层次中抽取的个体数依次为 ， ， ，即15，60，25.
第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.

1.有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？
解 方法一 首先，把机器都编上号码001，002，003，…，112，如用抽签法，则把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本.
方法二 第一步，将原来的编号调整为001，002，003，…，112.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如：选第9行第7个数“3”，向右读.
第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092.
第四步，对应原来编号74，100，94，52，80，3，105，107，83，92的机器便是要抽取的对象.
2.某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？
解 （1）将624名职工用随机方式编号由000至623.
（2）利用随机数表法从总体中剔除4人.
（3）将剩下的620名职工重新编号由000至619.
（4）分段，取间隔k= =10，将总体分成62组，每组含10人.
（5）从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l.
（6）按编号将l，10+l,20+l,…，610+l,共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本.
3.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：
很喜爱喜爱一般不喜爱
2 4354 5673 9261 072
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？
解 可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占 ，应取60× ≈12(人）；“喜爱”占 ，应取60× ≈23(人）；“一般”占 ，应取60× ≈20（人）；“不喜爱”占 ,应取60× ≈5（人）.因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.
4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是 （填序号）.
(1)②、③都不能为系统抽样
(2)②、④都不能为分层抽样
(3)①、④都可能为系统抽样
(4)①、③都可能为分层抽样
答案 (4)

一、填空题
1.（2008•安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 .
答案 15，10，20
2.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别为 .
答案 系统抽样，简单随机抽样
3.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是 （填序号）.
①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
②某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
答案 ③
4.（2008•重庆文）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是 .
答案 分层抽样法
5.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是 （填序号）.
①高一学生被抽到的概率最大
②高三学生被抽到的概率最大
③高三学生被抽到的概率最小
④每名学生被抽到的概率相等
答案 ①②③
6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 .
答案 6
7.（2008•天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人.
答案 10
8.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 .
答案 0795
二、解答题
9.为了检验某种作业本的印刷质量，决定从一捆（40本）中抽取10本进行检查，利用随机数表抽取这个样本时，应按怎样的步骤进行？
分析 可先对这40本作业本进行统一编号，然后在随机数表中任选一数作为起始号码，按任意方向读下去，便会得到10个号码.
解 可按以下步骤进行：
第一步，先将40本作业本编号，可编为00，01，02，…，39.
第二步，在附录1随机数表中任选一个数作为开始.如从第8行第4列的数78开始.
第三步，从选定的数78开始向右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59＞39，将它去掉；继续向右读，得到16，由于16＜39,将它取出；继续读下去，可得到19，10,12，07，39，38，33，21，后面一个是12，由于在前面12已经取出，将它去掉；再继续读，得到34.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16，19，10，12，07，39，38，33，21，34.
10.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？
解 用分层抽样抽取.
（1）∵20∶100=1∶5，
∴ =2， =14， =4
∴从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.
（2）因副处级以上干部与工人人数较少，可用抽签法从中分别抽取2人和4人；对一般干部可用随机数表法抽取14人.
（3）将2人、4人、14人编号汇合在一起就得到了容量为20的样本.
11.从某厂生产的10 002辆电动自行车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.
解 因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样.
抽样步骤如下：
第一步，将10 002辆电动自行车用随机方式编号；
第二步，从总体中剔除2辆（剔除法可用随机数表法），将剩下的10 000辆电动自行车重新编号（分别为00001，00002，…，10000）并分成100段；
第三步，在第一段00001，00002，…，00100这100个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起始号码（如00006）；
第四步，把起始号码依次加间隔100，可获得样本.
12.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容
量n.
解 总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为 ，分层抽样的比例是 ,抽取工程师 ×6= （人），
抽取技术人员 ×12= (人），
抽取技工 ×18= （人）.
所以n应是6的倍数，36的约数即n=6,12,18,36.
当样本容量为（n+1）时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为 ，因为 必须是整数，所以n只能取6，即样本容量为6.