高三数学不等式的证明教学设计16
详细内容
6.4不等式的证明II
一、明确复习目标
1.掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；
2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性.提高分析问题,解决问题的能力.
二．建构知识网络
1.反证法：正难则反. 否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。
2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证 明不等式.
常用的放缩手法有：
①添加或舍去一些项，如： ； ；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，绝对值不等式,a2≥0等;
④若a>b>0,m>0,则 .
3.换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.
4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式；
5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式
6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。
三、双基题目练练手
1. 已知a、b是不相等的正数，x= ，y= ，则x、y的关系是( )
A.x＞yB.y＞xC.x＞ yD.不能确定
2. 设M=a+ （2＜a＜3），N=log （x2+ ）（x∈R），那么M、N的大小关系是
A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能确定
3. （2005春北京）若不等式（－1）na＜2+ 对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A.［－2， ）B.（－2， ）
C.［－3， ）D.（－3， ）
4. 在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），则an+1与bn+1的大小关系是____________.
5.若a＞b＞c，则 + _______ .（填“＞”“=”“＜”）
6.记S= ，则S与1的大小关系是_________
简答:1-3.BAA; 3.当n为正偶数时，a＜2－ ，2－ 为增函数，
∴a＜2－ = . 当n为正奇数时，－a＜2+ ，a＞－2－ .
而－2－ 为增函数，－2－ ＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2， ）答案：A
4. an+1= ≥ = =bn+1.答案：an+1≥bn+1
5.a＞b＞c，（ + ）（a－c）=（ + ）［（a－b）+（b－c）］
≥4. ∴ + ≥ ＞ .答案：＞; 6. S<1
四、经典例题做一做
【例1】已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。
也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。
证法二：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
证法三：（均值换元法）∵ ，
所以可设 ， ，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法四：（判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即
故
◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.
【例2】（1）设 ，且 ，求证： ；
（2）设 ，且 ，求证：
【证明】 （1）设
则 ，
= 。
（2）设 ，
∵ ，∴ 。
于是 。
【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.
求证： －1＜ .
证法一：要证 －1＜ ，
即证a＜（ +1）n.
令a－1=t＞0，则a=t+1.
也就是证t+1＜（1+ ）n.
∵（1+ ）n=1+C +…+C （ ）n＞1+t，
即 －1＜ 成立.
证法二：设a=xn，x＞1.
于是只要证 ＞x－1，
即证 ＞n.联想到等比数列前n项和
=1+x+…+xn-1>n.
∴ ＞n.
【例4】已知
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求证：x>y>0,有f(x+y)
解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,
（2）∵
∴
而
另法:
⑶
∴
点评：函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值 .
【研讨.欣赏】数列｛an｝满足a1=1且an+1= （n≥1）?
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；?
（2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…．?
证明:（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1= ≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．?
根据①、②可知：ak≥2对所有n≥2成立．?
（2）由递推公式及（1）的结论有?
an+1= ≤ ，（n≥1）?
两边取对数并利用已知不等式得
lnan+1≤ln +lnan≤lnan+ ．?
故lnan+1－lnan≤ ，（n≥1）．?
上式从1到n－1求和可得?
lnan－lna1≤ + +…+ + + +…+
=1－ + +… =1－ +1 ＜2?，
即lnan＜2，故an＜e2 （n≥1）．?
五．提炼总结以为师
1．高考中一般不出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.
2．总结所学不等式证明的方法：
同步练习 6.4不等式的证明II
【选择题】
1. 若 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是 ( )
A.a2＜b2B.ab＜b2
C. + ＞2D.|a|+|b|＞|a+b|
2.已知a＞b＞c＞0，若P= ，Q= ，则 ( )
A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q
3.（2005天津）已知 ＜ ＜ ，则 ( )
A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b
4. (2005江西）已知实数a、b满足等式 下列五个关系式：
①0
A．1个B．2个C．3个D．4个
【填空题】
5. 设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.则P=loga（ax＋ay）与Q=loga2＋ 的大小关系是___________（填“＞”“=”“＜”）.
6.已知不等式 对n∈N+都成立，则实数M的取值范围是__________。
简答.提示：1-4.ADAB; 5. ax＋ay≥2 ＝2 .
∵x－x2＝ －（x－ ）2≤ ，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2 ＝2a .
∴loga（ax＋ay）＜loga2a ＝loga2＋ .即P
最大. M>1
【解答题】
7．已知 ， 求证： 都属于 。
【证明】由已知得： ，代入 中得：
∵ ，∴△≥0，即
解得 ，即y∈ 。同理可证x∈ ，z∈ 。
8. 设 ，且 ，求证：
因为 ，而
所以 ，所以a，b为方程 （1）的二实根
而 ，故方程（1）有均大于c的二不等实根。
记 ，则
解得 。
法2: 由已知得c<0, 否则,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)<1,与已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-1<0,
9.若a>0, b>0，且 =1,
求证：(I) a＋b≥4;
(II) 对于一切n∈N*, (a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
证明：(I) =1, a＋b=( )(a＋b)=1＋ ＋ ＋1≥4,
(II) 当n=1时, 左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立.
假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.
则当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
=(a＋b) (a＋b)k－ak＋1－bk＋1
≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1) －ak＋1－bk＋1
=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)
≥2•2k＋1＋4•22k－4•2k＋1=22k＋2－2k＋2,
∴n=k＋1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切n∈N*都成立
10. 已知a、b为正数，求证：
（1）若 +1＞ ，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+ ＞b成立；
（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+ ＞b成立，则 +1＞ .
分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.
证明：（1）ax+ =a（x－1）+ +1+a≥2 +1+a=（ +1）2.
∵ +1＞ （b＞0），
∴（ +1）2＞b.从而ax+ ＞b
（2）∵ax+ ＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+ ］min＞b，
而ax+ =a（x－1）+ +1+a≥2 +1+a=（ +1）2，
当且仅当a（x－1）= ，即x=1+ ＞1时取等号.
故［ax+ ］min=（ +1）2.
则（ +1）2＞b，即 +1＞ .
评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.
【探索题】（2005湖北）已知不等式 , 其中n为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有