高一数学必修四第二章平面向量综合检测题(含答案北师大版)
详细内容
综合检测(二)
第二章 平面向量
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c•(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
【解析】 ∵a⊥c，∴a•c＝0.又∵a∥b，∴可设b＝λa，则c•(a＋2b)＝c•(1＋2λ)a＝0.
【答案】 D
2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
【解析】 cos〈a，b〉＝a•b|a|•|b|＝－11•2＝－12.
∴〈a，b〉＝2π3.
【答案】 C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，μ＝a＋b，υ＝a－b，且μ∥υ，则x的值为( )
A.12B．－12
C.16D．－16
【解析】 ∵μ＝(1＋x,3)，υ＝(1－x,1)，μ∥υ.
∴(1＋x)×1－3×(1－x)＝0，∴x＝12.
【答案】 A
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a•b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A．[0，π6]B．[π3，π]
C．[π3，2π3]D．[π6，π]
【解析】 Δ＝|a|2－4a•b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2•cos〈a，b〉≥0.
∴cos〈a，b〉≤12，〈a，b〉∈[0，π]．
∴π3≤〈a，b〉≤π.
【答案】 B
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a•(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
【解析】 ∵a•(b－a)＝a•b－a2＝2，∴|a||b|cos θ－|a|2＝2，
∴1×6×cos θ－1＝2，∴cos θ＝12，又0≤θ≤π，∴θ＝π3，故选C.
【答案】 C
6．已知OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上一点P使AP→•BP→有最小值，则P点的坐标是( )
A．(－3,0)B．(3,0)
C．(2,0)D．(4,0)
【解析】 设P(x,0)，∴AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)，∴AP→•BP→＝(x－2)(x－4)＋2
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时，AP→•BP→取最小值，此时P(3,0)．
【答案】 B
7．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)•(xb－a)是( )
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
【解析】 ∵a⊥b，∴a•b＝0，
∴f(x)＝(xa＋b)•(xb－a)＝x2(a•b)＋(|b|2－|a|2)x－a•b＝(|b|2－|a|2)x，又|a|≠|b|，∴f(x)是一次函数且为奇函数，故选A.
【答案】 A
8．已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)•BC→＝0且AB→|AB→|•AC→|AC→|＝12，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
【解析】 AB→|AB→|和|AC→||AC→|分别是与AB→，AC→同向的两个单位向量．
∴AB→|AB→|＋AC→|AC→|是∠BAC角平分线上的一个向量，由(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)•BC→＝0知该向量与边BC垂直，∴△ABC是等腰三角形．由AB→•AC→|AB→|•|AC→|＝12知∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．
【答案】 A
9．(2013•湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( )
A.322 B.3152
C．－322D．－3152
【解析】 由已知得AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，因此AB→在CD→方向上的投影为AB→•CD→|CD→|＝1552＝322.
【答案】 A
10．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝( )
A．2B．4
C．5D．10
【解析】 ∵PA→＝CA→－CP→，
∴|PA→|2＝CA→2－2CP→•CA→＋CP→2.
∵PB→＝CB→－CP→，∴|PB→|2＝CB→2－2CP→•CB→＋CP→2.
∴|PA→|2＋|PB→|2＝(CA→2＋CB→2)－2CP→•(CA→＋CB→)＋2CP→2＝AB→2－2CP→•2CD→＋2CP→2.
又AB→2＝16CP→2，CD→＝2CP→，代入上式整理得|PA→|2＋|PB→|2＝10|CP→|2，故所求值为10.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．已知向量a＝(2,1)，a•b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于________．
【解析】 ∵|a＋b|＝5 2，∴(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2a•b＝50，
又|a|＝5，a•b＝10，
∴5＋|b|2＋2×10＝50.
解得|b|＝5.
【答案】 5
12．已知a＝(3,1)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b.则4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝________.
【解析】 ∵a∥b，∴3cos α＝sin α，
∴tan α＝3.
4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.
【答案】 57
13．(2013•课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→•BD→＝________.
【解析】 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，
∴AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)，
∴AE→•BD→＝1×(－2)＋2×2＝2.
【答案】 2
14．已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a•b＝0，则实数k的值为________．
【解析】 由题意a•b＝0，即有(e1－2e2)•(ke1＋e2)＝0
∴ke21＋(1－2k)e1•e2－2e22＝0.
又∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝2π3，
∴k－2＋(1－2k)•cos 2π3＝0，
∴k－2＝1－2k2，∴k＝54.
【答案】 54
15．(2012•安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
【解析】 a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．
∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)•b＝(3,3m)•(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∵m＝－12，
∴a＝(1，－1)，|a|＝12＋－12＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2013•江苏高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
【解】 (1)证明 由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a•b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a•b＝2，即a•b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，
由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.
17．(本小题满分12分)平面内三点A、B、C在一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m、n的值．
【解】 AC→＝OC→－OA→＝(7，－1－m)，
BC→＝OC→－OB→＝(5－n，－2)．
∵A、B、C三点共线，∴AC→∥BC→，
∴－14＋(m＋1)(5－n)＝0.①
又OA→⊥OB→.
∴－2n＋m＝0.②
由①②解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝32.
18．(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)求证：b⊥(a＋tb)．
【解】 (1)(a＋tb)2＝|a|2＋|tb|2＋2a•tb，
|a＋tb|最小，即|a|2＋|tb|2＋2a•tb最小，
即t2|b|2＋|a|2＋2t|a||b|cos 〈a，b〉最小．
故当t＝－|a|cos 〈a，b〉|b|时，|a＋tb|最小．
(2)证明：b•(a＋tb)＝a•b＋t|b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a|cos 〈a，b〉|b||b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a||b|cos〈a，b〉＝0，故b⊥(a＋tb)．
19．(本小题满分13分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA→＋4OB→＋5OC→＝0.
(1)求数量积OA→•OB→，OB→•OC→，OC→•OA→；
(2)求△ABC的面积．
【解】 (1)∵3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，
∴3OA→＋4OB→＝0－5OC→，
即(3OA→＋4OB→)2＝(0－5OC→)2.
可得9OA→2＋24OA→•OB→＋16OB→2＝25OC→2.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
∴OA→2＝OB→2＝OC→2＝1，
∴OA→•OB→＝0.
同理OB→•OC→＝－45，
OC→•OA→＝－35.
(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝12|OA→|•|OB→|sin ∠AOB＋12|OB→|•|OC→|sin ∠BOC＋12|OC→|•|OA→|sin ∠AOC.
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
∴S△ABC＝12(sin ∠AOB＋sin ∠BOC＋sin ∠AOC)．
由(1)OA→•OB→＝|OA→|•|OB→|•cos ∠AOB＝cos ∠AOB＝0得sin ∠AOB＝1.
OB→•OC→＝|OB→|•|OC→|•cos ∠BOC＝cos ∠BOC＝－45，
∴sin ∠BOC＝35，
同理sin ∠AOC＝45.
∴S△ABC＝65.
20．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(AB→－tOC→)•OC→＝0，求t的值．
【解】 (1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．
所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.
故所求的两条对角线长分别为42，210.
(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．
由(AB→－tOC→)•OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)•(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.
图1
21．(本小题满分13分)如图1，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝2 3.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
【解】 法一：作CD∥OB交直线OA于点D，作CE∥OA交直线OB于点E，则OC→＝OD→＋OE→，
由已知∠OCD＝∠COE＝120°－30°＝90°，在Rt△OCD中，OD＝Oos 30°＝4，
CD＝OCtan 30°＝2，
∴OE＝CD＝2.
又∵|OA→|＝|OB→|＝1，∴OD→＝4OA→，OE→＝2 OB→，即OC→＝OD→＋OE→＝4OA→＋2OB→，从而λ＋μ＝6，
法二：由图可知∠BOC＝120°－30°＝90°，即OB→⊥OC→，
又∵OC→＝λOA→＋μOB→
∴OC→2＝λOA→•OC→＋μOB→•OC→ ①OC→•OA→＝λOA→2＋μOB→•OA→ ②
∴2 32＝λ|OA→||OC→|cos 30°|OC→||OA→|cos 30°＝λ＋μ|OB→||OA→|cos 120°
解得λ＝4μ＝2，∴λ＋μ＝6.